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例題

解　$P=(3x+2y+1)$, $Q=(2x-y-4)$ の場合で、 $\dps{\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(3x+2y+1)=2}$,   $\dps{\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2x-y-4)=2}$ ですから Th.8 よりこれは完全微分形です。Cor.9 を適用しましょう。 $\dps{g=\int P\,dx = \int(3x+2y+1)dx=\frac{3}{2}x^2+2xy+x}$ として $$\begin{align} f &= g + \int \left(Q-\frac{\partial}{\partial y}g\right)dy \\ &= \left(\frac{3}{2}x^2+2xy+x\right) + \int \left((2x-y-4)-(2x)\right)dy \\ &= \left(\frac{3}{2}x^2+2xy+x\right) -\frac{1}{2}y^2-4y\\ \end{align}$$ よって一般解は $\dps{3x^2+4xy+2x-y^2-8y=C}$ です。 以上、前回の Ex.12 の別解でした。

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