応用数学 第2回 (5) 積分因数 その１
完全微分形に帰着するテクニック
Def.11 $(5.1)$ が完全微分形でないとき、
両辺に関数 $\lambda=\lambda(x,y)$ を掛けた
$$
(\lambda\,P)dx + (\lambda\,Q)dy = 0
$$
が完全微分形になるならば $\lambda$ を $(5.1)$ の「積分因数」と呼ぶ。
Ex.12 $(3xy+2y^3)dx + (xy^2-x^2)dy = 0$ $\cdots\cdots$ $(1)$
$P=3xy+2y^3$, $Q=xy^2-x^2$ とすると
$\dps{\frac{\partial P}{\partial y}=3x+6y^2}$, $\dps{\frac{\partial Q}{\partial x}=y^2-2x}$
ですから、
Th.8 により、このままでは完全形ではありません。
Technique 13 $\lambda=x^my^n$ の形の積分因数を探そう。
\begin{align}
\frac{\partial (\lambda P)}{\partial y}
&= \frac{\partial}{\partial y}\left(3x^{m+1}y^{n+1}+2x^my^{n+3}\right) \\
&= 3(n+1)x^{m+1}y^n+2(n+3)x^my^{n+2}, \\
\end{align}
\begin{align}
\frac{\partial (\lambda Q)}{\partial x}
&= \frac{\partial}{\partial x}\left(x^{m+1}y^{n+2}-x^{m+2}y^n\right) \\
&= (m+1)x^{m}y^{n+2}-(m+2)x^{m+1}y^{n} \\
\end{align}
これらが等しくなるためには
$
\left\{
\begin{array}{l}
3(n+1)=-(m+2) \\
2(n+3)=m+1 \\
\end{array}
\right.
$
であればよく、解くと
$m=1$, $n=-2$
となります。従って
$\dps{\lambda=\frac{x}{y^2}}$
が積分因数になり、$(1)$ に $\lambda$ を掛けた式が完全微分形になるので
Cor.9 が適用できます。
$\require{cancel}$
\begin{align}
g
= \int (\lambda P)dx
&= \int\frac{x}{y^2}(3xy+2y^3)dx \\
&= \int\left(3\frac{x^2}{y}+2xy\right)dx
= \frac{x^3}{y}+x^2y \\
\end{align}
\begin{align}
f
&=g+\int \left(\lambda Q -\frac{\partial g}{\partial y}\right) dy \\
&=g+\int \left(\frac{x}{y^2}(xy^2-x^2) -\frac{\partial g}{\partial y}\right) dy \\
&=g+\int\left(\cancel{x^2}-\bcancel{\frac{x^3}{y^2}}-\left(-\bcancel{\frac{x^3}{y^2}}+\cancel{x^2}\right)\right)dy = g\\
\end{align}
従って一般解は
$\dps{\frac{x^3}{y}+x^2y=C}$
となりました。