応用数学 第2回 (6) 積分因数 その2
より一般的なテクニック
Th.14 $\dps{h=\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}\right)}$ が
$x$ だけの関数であれば、$x$ の関数
$\dps{\lambda=e^{\int h\,dx}}$
は $(5.1)$ の積分因数になり、
$(5.1)$ の一般解は
$\dps{\int ( \lambda P)\,dx = C}.$
$\require{cancel}$
証明 $\lambda$ は $x$ だけの関数ゆえ
\begin{align}
\frac{\partial (\lambda P)}{\partial y}
&=\lambda \left( \frac{\partial P}{\partial y} \right),\\
\frac{\partial (\lambda Q)}{\partial x}
&=\frac{d\lambda}{dx}Q+\lambda \left( \frac{\partial Q}{\partial x} \right) \\
&=(h\lambda)Q+\lambda \left( \frac{\partial Q}{\partial x} \right) \\
&=\lambda\left(\left(\frac{\partial P}{\partial y} - \cancel{\frac{\partial Q}{\partial x}}\right)
+ \cancel{\frac{\partial Q}{\partial x}} \right)
=\lambda\left(\frac{\partial P}{\partial y}\right)\\
\end{align}
従って
Th.8 により $\lambda$ は積分因数になります。
Cor.9 の $f$ は
$\dps{f = g + \int \left\{(\lambda Q) - \frac{\partial}{\partial y}g\right\}dy}$,
$\dps{g=\int(\lambda P)dx}$
ですが、今の場合
\begin{align}
\{\quad\} \mbox{ 内}
&= (\lambda Q) - \frac{\partial}{\partial y}\int(\lambda P)dx \\
&= (\lambda Q) - \int\frac{\partial(\lambda P)}{\partial y}dx \\
&= (\lambda Q) - \int\frac{\partial(\lambda Q)}{\partial x}dx
= (\lambda Q) - (\lambda Q) = 0 \\
\end{align}
ゆえ $f=g$. 従って一般解は
$\dps{\int ( \lambda P)\,dx = C}$
となります。(証明終)
Ex.15 $(x^2-y^2)\,dx+2xy\,dy=0$
解 $P=x^2-y^2$, $Q=2xy$ とするとき
$\dps{h=\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}\right)
=\frac{1}{2xy}(-2y-2y)=-\frac{2}{x}}$
は $x$ のみの関数ゆえ
Th.14 が使え、
$\dps{\lambda=e^{\int\left(-\frac{2}{x}\right)dx}=e^{-2\log x}=\frac{1}{x^2}}$,
$\dps{\int(\lambda P)\,dx = \int\left(1-\frac{y^2}{x^2}\right)dx = x + \frac{y^2}{x}}$
従って一般解は
$\dps{x + \frac{y^2}{x}=C}$.