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全微分方程式

　１階常微分方程式は $(5.1)$ の形に直せることが多いです。例えば

• $\dps{\frac{dy}{dx}=y\,\tan x}$  なら $\dps{(\tan x) \,dx + \left(-\frac{1}{y}\right)dy = 0}$ と書けます。
• $(y')^2+2y'+xy=0$  なら  $y'=-1 \pm \sqrt{1-xy}$  と解いて $(1 \mp \sqrt{1-xy})\,dx + (1)\, dy = 0$ と書けます。

完全微分形方程式

　$df$ は正確に言うと「微分１形式」という代物ですが、記号として $\dps{df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy}$ と書くもの、と思っていれば計算できます。 証明　$\dps{\frac{df}{dx} = \left( P + Q\, \frac{dy}{dx}\right) = 0}$ ゆえ $\dps{f=\int 0\,dx = C}$. (証明終) 証明　$\Rightarrow$ ) $df = P\,dx + Q\,dy$ であれば $\dps{P=\frac{\partial f}{\partial x}}$, $\dps{Q=\frac{\partial f}{\partial y}}$ ゆえ $\dps{\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}}.$

$\Leftarrow$ ) まず、

$\dps{g(x,y)=\int P(x,y) dx}$ とおきます。ただし右辺は $y$ を定数と思って $x$ で積分したものです。このとき $\dps{\frac{\partial g}{\partial x}=P}$ ですから $(5.2)$ を用いると、 $\dps{\frac{\partial}{\partial x} \left(Q-\frac{\partial g}{\partial y} \right) = \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = 0}$ 従って $\dps{Q-\frac{\partial g}{\partial y}}$ は $x$ に依らない $y$ だけの関数です。そこで $\dps{h(y) = Q-\frac{\partial g}{\partial y}}$,  $\dps{f(x,y)=g(x,y)+\int h(y)dy}$ とおくと $\dps{df=dg+h(y)dy=\frac{\partial g}{\partial x}dx+\frac{\partial g}{\partial y}dy+\left(Q-\frac{\partial g}{\partial y}\right)dy=Pdx+Qdy }$. (証明終)

　この証明から

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