応用数学（塩田）2022年度

応用数学第1回 (6)　同次形に変形するテクニック

同次形に変形するテクニック

Ex.12　

$(3x+2y+1)\,dx+(2x-y-4)\,dy=0$ 。

$1$ や

$-4$ が無ければ同次形ですが、このままでは同次形ではありません。そこで

Technique 13　2直線

$3x+2y+1=0$ ,

$2x-y-4=0$ の交点

$(a,b)$ を求めて

$X=x-a$ ,

$Y=y-b$ とおけ。

$(a,b)=(1,-2)$ ,

$x=X+1$ ,

$y=Y-2$ であり、

$dx = dX$ ,

$dy = dY$ ,

$\dps{-\frac{3x+2y+1}{2x-y-4}=-\frac{3(X+1)+2(Y-2)+1}{2(X+1)-(Y-2)-4}=-\frac{3X+2Y}{2X-Y}}$ となって、同次形

$\dps{\frac{dY}{dX}=-\frac{3X+2Y}{2X-Y} =-\frac{3+2\left(\frac{Y}{X}\right)}{2-\left(\frac{Y}{X}\right)}}$ に変形できました。

$\dps{v=\frac{Y}{X}}$ ,

$\dps{f(v)=-\frac{3+2v}{2-v}}$ として Th.11 を適用し

$\dps{\frac{dv}{dX}=\frac{1}{X}\left(-\frac{3+2v}{2-v}-v\right)=-\frac{1}{X}\left(\frac{3+4v-v^2}{2-v}\right)}$

$\dps{\int\frac{v-2}{v^2-4v-3}dv=-\int\frac{1}{X}dx}$

$\dps{\frac{1}{2}\log(v^2-4v\require{color}\textcolor{red}{-3})=-\log X+C}$ ... 2022.10.6 13:55 訂正

$X^2(v^2-4v-3)=A$ (

$A=\pm e^{2C}$ )

$\dps{v=\frac{Y}{X}}$ より

$Y^2-4XY-3X^2=A$ さらに

$X=x-1$ ,

$Y=y+2$ を入れて整理すれば、一般解は

$y^2-4xy-3x^2+8y-2x=B$ (

$B=A-9$ ) です。

※　座標を $X$ , $Y$ に変換すると、 (分母) $=0$ の方程式も (分子) $=0$ の方程式も $(X,Y)=(0,0)$ を通るので定数項がなくなるところがミソです。