応用数学 第5回 (2) 定数係数2階同次線形微分方程式

定数係数2階同次線形微分方程式

 2階同次線形微分方程式は、係数が定数の場合 $$ y'' + a \, y' + b \, y = 0 \tag{8.2} $$ には2次方程式を解くだけでカンタンに一般解が書けます。
Def.1 2次方程式 $$ s^2 + a \,s + b = 0 \tag{8.3} $$ を $(8.2)$ の特性方程式と言い、その根を特性根と言う。
Th.2 $(8.2)$ の一般解 $Y$ は特性根を用いて次のように書ける:
  1. 特性根が異なる2つの実数 $\alpha$, $\beta$ のとき $Y=Ae^{\alpha x}+Be^{\beta x}$.
  2. 特性根 $\alpha$ が重根のとき $y=(Ax+B)e^{\alpha x}$.
  3. 特性根が共役な複素数 $\lambda\pm i\mu$ のとき $Y=e^{\lambda x}(A\sin(\mu x)+B\cos(\mu x))$.
証明 前回の Th.8 より、一次独立な解を2つみつければ宜しい。
  1. $e^{\alpha x}$ が $(8.2)$ の解であることは \begin{align} (e^{\alpha x})''+a\,(e^{\alpha x})'+b\,(e^{\alpha x}) &=(\alpha^2\,e^{\alpha x})+ a\,(\alpha\,e^{\alpha x})+b\,(e^{\alpha x})\\ &=(\alpha^2+a\,\alpha+b)(e^{\alpha x})=0 \\ \end{align} より。$e^{\beta x}$ も同様です。 $e^{\alpha x}$ と $e^{\beta x}$ が一次独立であることは、 直接示しても簡単ですし、 前回の Ex.3, Th.4 からもわかります。
  2. $\alpha$ が重根ならば $a = -2\alpha$ ゆえ \begin{align} (xe^{\alpha x})''&+a\,(xe^{\alpha x})'+b\,(e^{\alpha x}) \\ &=(2\alpha\,e^{\alpha x}+\alpha^2\,x\,e^{\alpha x})+a\,(e^{\alpha x}+\alpha\,x\,e^{\alpha x})+b\,(e^{\alpha x})\\ &=(2\alpha+a)(e^{\alpha x})+(\alpha^2+a\,\alpha+b)(e^{\alpha x})=0 \\ \end{align} $e^{\alpha x}$ と $xe^{\alpha x}$ が一次独立であることも簡単に示せます。
  3. (1) とは実数か複素数かが違うだけで、$e^{(\lambda+i\mu)x}$, $e^{(\lambda-i\mu)x}$ は2つの一次独立な解です。 オイラーの公式より
    $e^{(\lambda+i\mu)x}=e^{\lambda x}(\cos(\mu x) \pm i\, \sin(\mu x))$
    ... $i$ が抜けていたのを訂正しました。11/5, 9:50am
    ですから、$e^{\lambda x}\sin(\mu x)$, $e^{\lambda x}\cos(\mu x))$ も2つの一次独立な解になります。
(証明終)

Ex.3  前回の「鉛直ばね振り子」の微分方程式
$\dps{X''+\frac{R}{m}X'+\frac{k}{m}X=0}$
は、 特性根が共役な複素数 $\lambda\pm i\mu$ ( $\lambda \lt 0$ ) の場合で、三角関数の合成により
$\dps{X(t)=C\,e^{\lambda x}\sin(\mu t + \nu)}$
と書けますから
のような運動をします。
やってみよう 次の2階線形微分方程式の一般解を求めよ。
(1) $y''+y'-2y=0$   (2) $y''+2y'+y=0$   (3) $y''-4y'+5y=0$