前へ / 戻る / 次へ

RLC 回路 ( 教科書 p.70, 例 4.4 )

　２階線形微分方程式は身近なところにある、というお話で、まずは電気回路から。 解　ポイントは、各素子がもたらす電圧への影響です。

1. 抵抗値 $R$ の抵抗は、電流量 $i(t)$ に比例する $R\times i(t)$ の電圧降下をもたらします。
2. インダクタンス $L$ のコイルは、電流量の変化に比例する $\dps{L \times i'(t)}$ の電圧降下をもたらします。
3. 容量 $C$ のコンデンサは、コンデンサに蓄えられる電荷量 $q(t)$ に比例する $C\times q(t)$ の電圧降下をもたらします。

以上から $\dps{C \, q(t) + R \, i(t) + L \, i'(t) = f(t)}$  $\cdots\cdots$ $(1)$ という式が得られます。 更に、電荷量 $q(t)$ の変化が電流量になりますので、 $i(t)=q'(t)$. 従って $(1)$ を $t$ で微分することにより $L\,i''+R\,i'+C\,i=f'$ これが $i=i(t)$ の満たす微分方程式で、 定数係数２階線形微分方程式という形です。

鉛直ばね振り子 ( 教科書 p.26, 例 8.4 )

　次はばねの運動です。 解　

1. 重力は、物体の質量を $m$, 重力加速度を $g$ として $-m\,g$ です。
2. ばねの力は、何も吊るさないときの位置からの変位に比例します。 比例定数を $k$ として $-k\,x(t)$ と表されます。
3. 空気抵抗は速度 $x'(t)$ に比例します。比例定数を $R$ として $-R\,x'(t)$ と表されます。

以上を、ニュートンの運動方程式 $F=ma=mx''(t)$ へ入れると $-mg-kx-Rx'=mx''$ すなわち $\dps{x''+\frac{R}{m}x'+\frac{k}{m}x=-g}$ やはり定数係数２階線形微分方程式になりました。 なおこれは、$X=x+\frac{mg}{k}$ とおけば $\dps{X''+\frac{R}{m}X'+\frac{k}{m}X=0}$ となり、定数係数２階線形同次微分方程式に変換できます。

前へ / 戻る / 次へ