応用数学 第4回 (4) 身近なところにある２階線形微分方程式
RLC 回路 ( 教科書 p.70, 例 4.4 )
２階線形微分方程式は身近なところにある、というお話で、まずは電気回路から。
設定 次の4つを直列につないだ電気回路を考えます：
- 抵抗値 $R$ の抵抗
- インダクタンス $L$ のコイル
- 容量 $C$ のコンデンサ
- 起電力 $f(t)$ の電源 ( $t$ は時刻 )
ただし、$R$, $L$, $C$ は定数で、$f(t)$ は時間変化するとします。
問 この回路に流れる電流量 $i(t)$ の満たす微分方程式を求めよ。
解 ポイントは、各素子がもたらす電圧への影響です。
- 抵抗値 $R$ の抵抗は、電流量 $i(t)$ に比例する $R\times i(t)$ の電圧降下をもたらします。
- インダクタンス $L$ のコイルは、電流量の変化に比例する $\dps{L \times i'(t)}$ の電圧降下をもたらします。
- 容量 $C$ のコンデンサは、コンデンサに蓄えられる電荷量 $q(t)$ に比例する $C\times q(t)$ の電圧降下をもたらします。
以上から
$\dps{C \, q(t) + R \, i(t) + L \, i'(t) = f(t)}$ $\cdots\cdots$ $(1)$
という式が得られます。
更に、電荷量 $q(t)$ の変化が電流量になりますので、
$i(t)=q'(t)$.
従って $(1)$ を $t$ で微分することにより
$L\,i''+R\,i'+C\,i=f'$
これが $i=i(t)$ の満たす微分方程式で、
定数係数２階線形微分方程式という形です。
鉛直ばね振り子 ( 教科書 p.26, 例 8.4 )
次はばねの運動です。
設定 天井から吊り下げられたばねに、空気抵抗の大きな物体が吊り下げられているとします。
物体に掛かる力は次の3つです：
- 重力
- ばねの力
- 空気抵抗
ばねに何も吊るさないときの先端の位置を $x=0$ とし、この物体の時刻 $t$ での位置を $x(t)$ とします。
問 $x(t)$ の満たす微分方程式を求めよ。
解
- 重力は、物体の質量を $m$, 重力加速度を $g$ として $-m\,g$ です。
- ばねの力は、何も吊るさないときの位置からの変位に比例します。
比例定数を $k$ として $-k\,x(t)$ と表されます。
- 空気抵抗は速度 $x'(t)$ に比例します。比例定数を $R$ として $-R\,x'(t)$ と表されます。
以上を、ニュートンの運動方程式
$F=ma=mx''(t)$
へ入れると
$-mg-kx-Rx'=mx''$
すなわち
$\dps{x''+\frac{R}{m}x'+\frac{k}{m}x=-g}$
やはり定数係数２階線形微分方程式になりました。
なおこれは、$X=x+\frac{mg}{k}$ とおけば
$\dps{X''+\frac{R}{m}X'+\frac{k}{m}X=0}$
となり、定数係数２階線形同次微分方程式に変換できます。