応用数学 第5回 (1) 問題設定と前回の復習
問題設定
今日は定数係数２階線形微分方程式
$$
y'' + a \, y' + b \, y = R(x)
\tag{8.1}
$$
の解法を勉強します。ここで $a$, $b$ は定数、$R(x)$ は与えられた関数です。
前回の復習
$$
y'' + a \, y' + b \, y = 0
\tag{8.2}
$$
を $(8.1)$ の補助方程式と言いました。このとき次が成り立ちます：
$(8.1)$ の一般解 $y$ は、ひとつの特殊解 $y_0$ と、補助方程式 $(8.2)$ の一般解 $Y$ の和である：
$y=y_0 + Y$
補助方程式 $(8.2)$ の解たちは 2 次元のベクトル空間を成す
従って
$(8.1)$ の一般解 $y$ を求めることは次の二つの作業に分けられる：
- 特殊解 $y_0$ をひとつ求めることと、
- 補助方程式 $(8.2)$ の一次独立な２つの解をみつけること
今日はこの (1), (2) を、(2) から先にやります。