数値解析（塩田）2020年度

正方行列の対角化

Th.7　若干の例外を除いて、$n$ 次正方行列 $A$ は $n$ 組の固有値・固有ベクトル $(\lambda_j, \vvv_j)$ ( $j=1,2,\cdots,n$ ) を持ち、 $\dps{P=\mat{c}{ \\ \vvv_1 & \!\!\!\cdots\!\!\! & \vvv_n \\ \\}}$ とおくと、 $\dps{A=P\mat{rcl}{\lambda_1 && \\[-0.5em] & \!\!\!\ddots\!\!\! & \\[-0.5em] && \lambda_n}P^{-1}}$, $\dps{P^{-1}AP=\mat{rcl}{\lambda_1 && \\[-0.5em] & \!\!\!\ddots\!\!\! & \\[-0.5em] && \lambda_n}}$ が成り立つ。( $A$ は $P$ によって対角化される、と言う。)

\begin{align} \because\quad AP =\mat{ccc}{\\ A\vvv_1 & \!\!\!\cdots\!\!\! & A\vvv_n \\ \\} &=\mat{ccc}{\\ \lambda_1 \vvv_1 & \!\!\!\cdots\!\!\! & \lambda_n \vvv_n \\ \\} \\ &=\mat{ccc}{\\ \vvv_1 & \!\!\!\cdots\!\!\! & \vvv_n \\ \\} \mat{rcl}{\lambda_1 && \\[-0.5em] & \!\!\!\ddots\!\!\! & \\[-0.5em] && \lambda_n} =P \mat{rcl}{\lambda_1 && \\[-0.5em] & \!\!\!\ddots\!\!\! & \\[-0.5em] && \lambda_n}. \end{align}

「若干の例外」について知りたい

Th.8　次の条件はいずれも、$n$ 次正方行列 $A$ が対角化可能であるための十分条件である：

$A$ は $n$ 個の異なる固有値を持つ
$A$ は実対称行列である

対角化の利点

　ネズミの絵の例の一般化として

Cor.9　Th.7 のとき、$A$ 倍写像による一次変換 $\xxx \mapsto A\xxx$ は各 $\vvv_j$ 方向へ $\lambda_j$ 倍する写像と解釈できる。

簡単でいいですよね。

Cor.10　Th.7 のとき、$A$ のべき乗は簡単に $\dps{A^k=P\mat{rcl}{\lambda_1^k && \\[-0.5em] & \!\!\!\ddots\!\!\! & \\[-0.5em] && \lambda_n^k}P^{-1}}$ で計算できる。

\begin{align} \require{cancel} \because\quad A^{k+1}=A^k\,A &=P\mat{rcl}{\lambda_1^k && \\[-0.5em] & \!\!\!\ddots\!\!\! & \\[-0.5em] && \lambda_n^k} \cancel{P^{-1}P}\mat{rcl}{\lambda_1 && \\[-0.5em] & \!\!\!\ddots\!\!\! & \\[-0.5em] && \lambda_n}P^{-1} \\[0.5em] &=P\mat{rcl}{\lambda_1^{k+1} && \\[-0.5em] & \!\!\!\ddots\!\!\! & \\[-0.5em] && \lambda_n^{k+1}}P^{-1} \\ \end{align}

Cor.11　Th.7 のとき、$A$ の全ての固有値の絶対値 $|\,\lambda_j\,|$ が 1 より小さければ $\dps{\lim_{k \rightarrow \infty} A^k=O.}$

$\dps{\because\quad \lim_{k \rightarrow \infty}A^k =P\lim_{k \rightarrow \infty}\mat{rcl}{\lambda_1^k && \\[-0.5em] & \!\!\!\ddots\!\!\! & \\[-0.5em] && \lambda_n^k}P^{-1} =POP^{-1}=O. }$

前へ / 戻る / 次へ