数値解析（塩田）2020年度

数値解析第13回 (4)　固有多項式 ( 特性多項式 )

固有多項式の定義

Def.12　

$n$ 次正方行列

$A$ に対し

$\varphi_A(x)=|\,xE-a\,|=\det(xE-A)$ で定まる

$n$ 次多項式を「

$A$ の固有多項式 ( あるいは特性多項式 ) 」と呼ぶ。

Ex.5 の行列 $\dps{A=\mat{rr}{-3 & 0 \\ 0 & 2}}$ の場合： $\dps{\varphi_A(x) =\det\left(\mat{cc}{x & 0 \\ 0 & x }-\mat{rr}{-3 & 0 \\ 0 & 2}\right) =\left|\,\begin{array}{cc}x+3 & 0 \\ 0 & x-2 \end{array}\,\right| =(x+3)(x-2). }$
Ex.6 の行列 $\dps{A=\mat{rr}{3 & 1 \\ 1 & 3}}$ の場合： $\dps{\varphi_A(x) =\left|\,\begin{array}{cc}x-3 & -1 \\ -1 & x-3 \end{array}\,\right| =(x-3)^2-(-1)^2=(x-4)(x-2). }$

Rem.13　

$A=(a_{ij})$ が対角行列、上三角行列、下三角行列ならば

$\dps{\varphi_A(x)=\prod_{i=1}^n \,(x-a_{ii})}.$

固有多項式と固有値

Th.14　

$\lambda$ が

$A$ の固有値であること

$\Leftrightarrow$

$\varphi_A(\lambda)=0$ .

証明　

$A\vvv=\lambda\vvv$ が

$\vvv\neq\ooo$ を満たす解

$\vvv$ を持つこと

$\Leftrightarrow$

$(\lambda E - A)\,\vvv=\ooo$ が

$\vvv\neq\ooo$ を満たす解

$\vvv$ を持つこと

$\Leftrightarrow$

$\det(\lambda E - A) = 0.$
(証明終)

※　特に、

$\lambda$ に対する固有ベクトル

$\vvv$ は

$(\lambda E - A)\,\vvv=\ooo$ の非零解です。

Cor.15　

$0$ が

$A$ の固有値であること

$\Leftrightarrow$

$\det(A)=0$

$\Leftrightarrow$

$A^{-1}$ が存在しないこと。

証明　

$\varphi_A(0)=\det(0E-A) = (-1)^n \det(A)$ ゆえ。(証明終)