応用数学 第7回 (3) 特殊解の求め方:$R(x)$ が指数関数の場合

$R(x)$ が指数関数の場合

Th.7 (1) $f(\alpha) \neq 0$ ならば
$\qquad\dps{f(D)^{-1}\,e^{\alpha x}=\frac{1}{f(\alpha)}e^{\alpha x}}$
  1. $f(\alpha) = 0$ のときは、$\alpha$ を $f(X)$ の $p$ 重根とし、
    $f(X)=(X-\alpha)^p\, g(X)$
    と分解すれば
    $\dps{f(D)^{-1}\,e^{\alpha x}=\frac{1}{g(\alpha)}\frac{1}{p!}x^pe^{\alpha x}}$
証明 (1) は 第6回の Th.6 (1) より。 (2) は 第6回の Th.11 (4) より \begin{align} f(D)^{-1}\,e^{\alpha x} &=(D-\alpha)^{-p}g(D)^{-1}e^{\alpha x}\\ &=(D-\alpha)^{-p}\frac{1}{g(\alpha)}e^{\alpha x}\\ &=\frac{1}{g(\alpha)}e^{\alpha x}\underbrace{\int\cdots\int}_{p \mbox{ times}} e^{-\alpha x}e^{\alpha x}dx\cdots dx =\frac{1}{g(\alpha)}e^{\alpha x}\frac{1}{p!}x^p. \\ \end{align} (証明終)

※ 第4回 (4) の Technique はこの (2) を使っています。

例題

Ex.8 $(D^3-5D+5)\,y=e^{2x}$
Th.7 (1) を使います。$f(X)$, $\alpha$ が何になるかまず考えてください。
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Ex.9 $(D+1)^2(D^2+D+1)\,y=e^{-x}$
今度は Th.7 (2) を使います。$f(X)$, $\alpha$, $p$, $g(X)$ が何になるかまず考えてください。
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