応用数学（塩田）2022年度

応用数学第4回 (4)　未定係数法その２

未定係数法がそのままでは上手くいかない例

Ex.6 ( 例 8.2 (2) )　

$y'' + y' -6 y = e^{2x} + x^2 - x$

　今度は、右辺の

$e^{2x}$ ,

$x^2$ ,

$x$ を何度か微分して得られる関数が生成するベクトル空間は

$e^{2x}$ ,

$x^2$ ,

$x$ ,

$1$ を基底とする4次元です。ところが

$y=a e^{2x} + b x^2 + c x + d$ の形で解を求めようとしても上手くいきません。何故かと言うと、

$e^{2x}$ は補助方程式

$y''+y'-6y=0$ の解ですから、

$y$ を左辺に入れると

$ae^{2x}$ の項の寄与が無くなり

$y=b x^2 + c x + d$ の形の解を探していることと同じになってしまいます。多項式関数から

$e^{2x}$ は作れないので失敗に終わる、という訳です。

解決策

Technique 　このように、右辺の項に補助方程式の解

$e^{\alpha x}$ が入っているときは、特性根

$\alpha$ の重複度を

$m$ として

$x^me^{\alpha x}$ を

$e^{\alpha x}$ の代わりに使うと上手くいきます。 ( 理由は、のちにやる「演算子法」で明らかになります。 )

　Ex.6 で実践してみましょう。

$y=a xe^{2x} + b x^2 + c x + d$ とおくと

$\dps{ \left\{ \begin{array}{l} y'= a (2x+1)e^{2x} + 2b x + c\\ y''= a (4x+4)e^{2x} + 2b\\ \end{array} \right. }$ これらを元の方程式に入れて

$(a (4x+4)e^{2x} + 2b)+(a (2x+1)e^{2x} + 2b x + c) - 6 (a xe^{2x} + b x^2 + c x + d)$

$=e^{2x} + x^2 - x$ ∴　

$5a e^{2x} -6b x^2 +(2b-6c)x +(2b + c-6d) = e^{2x} + x^2 - x$ ∴　

$\dps{a= \frac{1}{5}}$ ,

$\dps{b= -\frac{1}{6}}$ ,

$\dps{c= \frac{1}{9}}$ ,

$\dps{d= -\frac{1}{27}}$ 従って、特殊解として

$\dps{y_0= \frac{1}{5}xe^{2x} -\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{9}x -\frac{1}{27}}$ が得られました。Th.2 と合わせると、一般解

$y$ は

$\dps{y= \frac{1}{5}xe^{2x} -\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{9}x -\frac{1}{27}}+A\,e^{2x} + B\, e^{-3x}$ となります。