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定数変化法

　今度は定数変化法で特殊解を求めます。 　まず $y'=u\,y_1'+v\,y_2'+u'\,y_1+v'\,y_2$ となりますが、この後ろの 2 項が $$u'\,y_1+v'\,y_2=0 \tag{8.7}$$ を満たす、という条件をつけてみます。 すると $y''=(u\,y_1'+v\,y_2')'=u\,y_1''+v\,y_2''+u'\,y_1'+v'\,y_2'$ ですから、これらを $(8.1)$ へ入れると $$\begin{align} y''&+a\,y'+b\,y \\ &=(u\,y_1''+v\,y_2''+u'\,y_1'+v'\,y_2')+a(u\,y_1'+v\,y_2')+b(u\,y_1+v\,y_2) \\ &=u\,(y_1''+a\,y_1'+b\,y_1) +v\,(y_2''+a\,y_2'+b\,y_2) +u'\,y_1'+v'\,y_2' \\ &= R \\ \end{align}$$ $y_1$, $y_2$ は補助方程式 $y''+a\,y'+b\,y=0$ の解ですから $$u'\,y_1'+v'\,y_2'=R \tag{8.8}$$ となります。 $(8.7)$, $(8.8)$ を行列を使って書き直すと $\dps{ \left( \begin{array}{cc} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} u' \\ v' \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ R \\ \end{array} \right) }$ $y_1$, $y_2$ は一次独立ですからロンスキー行列式は 0 ではありません。 $\dps{ W=W(y_1,y_2)= \left| \begin{array}{cc} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \\ \end{array} \right| \neq 0 }$ よって逆行列が使えて $\dps{ \left( \begin{array}{c} u' \\ v' \\ \end{array} \right) = \frac{1}{W} \left( \begin{array}{cc} y_2' & -y_2 \\ -y_1' & y_1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ R \\ \end{array} \right) = \frac{1}{W} \left( \begin{array}{c} -y_2R \\ y_1R \\ \end{array} \right) }$ ∴　$\dps{u'=\frac{-y_2R}{W}}$,   $\dps{v'=\frac{y_1R}{W}}$ ∴　$\dps{u=\int\frac{-y_2R}{W}dx}$,   $\dps{v=\int\frac{y_1R}{W}dx}$ 以上から 　積分定数も考えれば、この式は $\dps{y=\left(-y_1\int\frac{y_2R}{W}dx + y_2\int\frac{y_1R}{W}dx\right) + A\, y_1 + B\,y_2}$ という $(8.1)$ の一般解を書いていることにもなります。

例

　補助方程式 $y''+y=0$ の一次独立な 2 つの解として $y_1=\cos x$, $y_2=\sin x$ が取れます。 このとき $W=W(y_1,y_2)=1$ ( 前回の Ex.3 ) ゆえ、 $$\begin{align} y_0 &= \left(-y_1\int\frac{y_2R}{W}dx + y_2\int\frac{y_1R}{W}dx\right) \\ &=-\cos x\int\frac{\sin x\frac{1}{\cos x}}{1}dx + \sin x\int\frac{\cos x\frac{1}{\cos x}}{1}dx \\ &=(\cos x)\log(\cos x) + x(\sin x)\\ \end{align}$$ また一般解は $y=(\cos x)\log(\cos x) + x(\sin x)+A\cos x+B\sin x$ となります。

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