応用数学 第4回 (5) 定数変化法

定数変化法

 今度は定数変化法で特殊解を求めます。
作戦  補助方程式 $(8.2)$ の一般解 $Y$ は、解空間の基底 $y_1$, $y_2$ を用いて
$Y=A\,y_1+B\,y_2$
の形をしていました。この定数 $A$, $B$ を関数 $u=u(x)$, $v=v(x)$ に置き換えた $$ y=u\,y_1+v\,y_2 \tag{8.6} $$ の形で $(8.1)$ の解を探しましょう。
 まず
$y'=u\,y_1'+v\,y_2'+u'\,y_1+v'\,y_2$
となりますが、この後ろの 2 項が $$ u'\,y_1+v'\,y_2=0 \tag{8.7} $$ を満たす、という条件をつけてみます。 すると
$y''=(u\,y_1'+v\,y_2')'=u\,y_1''+v\,y_2''+u'\,y_1'+v'\,y_2'$
ですから、これらを $(8.1)$ へ入れると \begin{align} y''&+a\,y'+b\,y \\ &=(u\,y_1''+v\,y_2''+u'\,y_1'+v'\,y_2')+a(u\,y_1'+v\,y_2')+b(u\,y_1+v\,y_2) \\ &=u\,(y_1''+a\,y_1'+b\,y_1) +v\,(y_2''+a\,y_2'+b\,y_2) +u'\,y_1'+v'\,y_2' \\ &= R \\ \end{align} $y_1$, $y_2$ は補助方程式
$y''+a\,y'+b\,y=0$
の解ですから $$ u'\,y_1'+v'\,y_2'=R \tag{8.8} $$ となります。 $(8.7)$, $(8.8)$ を行列を使って書き直すと
$ \dps{ \left( \begin{array}{cc} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} u' \\ v' \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ R \\ \end{array} \right) }$
$y_1$, $y_2$ は一次独立ですからロンスキー行列式は 0 ではありません。
$ \dps{ W=W(y_1,y_2)= \left| \begin{array}{cc} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \\ \end{array} \right| \neq 0 }$
よって逆行列が使えて
$ \dps{ \left( \begin{array}{c} u' \\ v' \\ \end{array} \right) = \frac{1}{W} \left( \begin{array}{cc} y_2' & -y_2 \\ -y_1' & y_1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ R \\ \end{array} \right) = \frac{1}{W} \left( \begin{array}{c} -y_2R \\ y_1R \\ \end{array} \right) }$
∴ $\dps{u'=\frac{-y_2R}{W}}$,   $\dps{v'=\frac{y_1R}{W}}$
∴ $\dps{u=\int\frac{-y_2R}{W}dx}$,   $\dps{v=\int\frac{y_1R}{W}dx}$
以上から
Th.7  $y_1$, $y_2$ を補助方程式 $(8.2)$ の一次独立な 2 つの解とすると、
$\dps{y_0=-y_1\int\frac{y_2R}{W}dx + y_2\int\frac{y_1R}{W}dx}$
は $(8.1)$ の特殊解である。
 積分定数も考えれば、この式は
$\dps{y=\left(-y_1\int\frac{y_2R}{W}dx + y_2\int\frac{y_1R}{W}dx\right) + A\, y_1 + B\,y_2}$
という $(8.1)$ の一般解を書いていることにもなります。

Ex.8 ( 例 8.3 ) $\dps{y''+y=\frac{1}{\cos x}}$
 補助方程式 $y''+y=0$ の一次独立な 2 つの解として $y_1=\cos x$, $y_2=\sin x$ が取れます。 このとき $W=W(y_1,y_2)=1$ ( 前回の Ex.3 ) ゆえ、 \begin{align} y_0 &= \left(-y_1\int\frac{y_2R}{W}dx + y_2\int\frac{y_1R}{W}dx\right) \\ &=-\cos x\int\frac{\sin x\frac{1}{\cos x}}{1}dx + \sin x\int\frac{\cos x\frac{1}{\cos x}}{1}dx \\ &=(\cos x)\log(\cos x) + x(\sin x)\\ \end{align} また一般解は
$y=(\cos x)\log(\cos x) + x(\sin x)+A\cos x+B\sin x$
となります。