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証明を折りたたむ 　(1) $\Leftrightarrow$ (3) $\Leftrightarrow$ (2) はすぐわかります。 $({}^tP)P$ の $(i,j)$-成分は $P$ の第 $i$ 列と第 $j$ 列の内積ですから (1) $\Leftrightarrow$ (4).  同様に $P({}^tP)$ の $(i,j)$-成分は $P$ の第 $i$ 行と第 $j$ 行の内積ですから (2) $\Leftrightarrow$ (5) が言えます。 (証明終)

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証明を折りたたむ 　(1)　$({}^tP)P=({}^tQ)Q=E$ であれば ${}^t(PQ)PQ=({}^tQ)({}^tP)PQ=({}^tQ)EQ=({}^tQ)Q=E$. (2)　Prop.4, Th.A2 (2) より $({}^t({}^tP))({}^tP)=P({}^tP)=E$. (3)　$1=\det(E)=\det(({}^tP)P)=\det({}^tP)\det(P)=\det(P)^2$ ゆえ。(証明終)

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証明を折りたたむ　 　行列のサイズ $n$ についての帰納法で示します。

1. $n=1$ のときは行列と言っても実数と同じですから $x^2=1$ $\Leftrightarrow$ $x=\pm 1$.
2. Th.A2 (4) より直交行列 $P$ の第1列ベクトル $\vvv_1$ は長さが 1 ですから、 $R(i-1,i;\theta)$ の形の行列で $\vvv_1$ を回転させてゆけば $x_1$ 方向の単位ベクトル に写すことができます。
   

      $\exists\,\theta_1,\,\theta_2,\,\cdots,\,\theta_n \mbox{ such that }$

   $\require{color} R(1,2;\theta_2)R(2,3;\theta_3)\cdots R(n-1,n;\theta_n)P =\dps{\mat{cccc}{ \textcolor{red}{1} & \cdots & \cdots \\ \textcolor{red}{0} & \cdots & \cdots \\ \textcolor{red}{\vdots} & \\ \textcolor{red}{0} & \cdots & \cdots }}.$ Prop.11,13 よりこの行列も直交行列であり、 Th.A2 (5) からその第1行ベクトルも長さ 1 なので 右辺 $=\dps{\mat{cccc}{ \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{\cdots} & \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{red}{0} & & \\ \textcolor{red}{\vdots} & & Q \\ \textcolor{red}{0} & & }}$ の形になることがわかります。 $Q$ の部分はサイズが $n-1$ の直交行列であり、帰納法の仮定が適用できます。(証明終)