Ex.12 の続き
Ex.12 をめげずに続けてみましょう。
次は $(2,3)$-成分をターゲットにして、
再び $(1,2)$-成分、$(1,3)$-成分、$\cdots$ と
３周回してみると、
めでたく ( 許容誤差の範囲で ) 対角化に成功します：
\begin{align}
A &=\mat{rrr}{ 1.0000000000 & 2.0000000000 & 3.0000000000 \\
2.0000000000 & 5.0000000000 & 4.0000000000 \\
3.0000000000 & 4.0000000000 & 7.0000000000 \\
}
\end{align}
------------------------------ round 1 ------------------------------
\begin{align}
R_1 &= R(1, 2; -0.3926990817)\\
A_1 &= {}^tR_1\, A\, R_1\\
&=\mat{rrr}{ 0.1715728753 & -0.0000000000 & 1.2409048681 \\
-0.0000000000 & 5.8284271247 & 4.8435684271 \\
1.2409048681 & 4.8435684271 & 7.0000000000 \\
}
\end{align}
\begin{align}
R_2 &= R(1, 3; -0.1743043552)\\
A_2 &= {}^tR_2\, A_1\, R_2 \\
&=\mat{rrr}{ -0.0469396931 & -0.8399865337 & 0.0000000000 \\
-0.8399865337 & 5.8284271247 & 4.7701758596 \\
0.0000000000 & 4.7701758596 & 7.2185125684 \\
}
\end{align}
\begin{align}
R_3 &= R(2, 3; -0.7130543098)\\
A_3 &= {}^tR_3\, A_2\, R_3 \\
&=\mat{rrr}{ -0.0469396931 & -0.6353384637 & -0.5494746703 \\
-0.6353384637 & 1.7029240147 & 0.0000000000 \\
-0.5494746703 & -0.0000000000 & 11.3440156784 \\
}
\end{align}
----------------------------- round 2 ------------------------------
\begin{align}
R_4 &= R(1, 2; 0.3140332911)\\
A_4 &= {}^tR_4\, A_3\, R_4 \\
&=\mat{rrr}{ -0.2532851914 & 0.0000000000 & -0.5226028516 \\
0.0000000000 & 1.9092695130 & 0.1697311779 \\
-0.5226028516 & 0.1697311779 & 11.3440156784 \\
}
\end{align}
\begin{align}
R_5 &= R(1, 3; 0.0449410398)\\
A_5 &= {}^tR_5\, A_4\, R_5 \\
&=\mat{rrr}{ -0.2767873315 & 0.0076253282 & 0.0000000000 \\
0.0076253282 & 1.9092695130 & 0.1695598040 \\
0.0000000000 & 0.1695598040 & 11.3675178185 \\
}
\end{align}
\begin{align}
R_6 &= R(2, 3; -0.0179195128)\\
A_6 &= {}^tR_6\, A_5\, R_6 \\
&=\mat{rrr}{ -0.2767873315 & 0.0076241040 & 0.0001366349 \\
0.0076241040 & 1.9062307587 & -0.0000000000 \\
0.0001366349 & -0.0000000000 & 11.3705565729 \\
}
\end{align}
------------------------------ round 3 ------------------------------
\begin{align}
R_7 &= R(1, 2; -0.0034924035)\\
A_7 &= {}^tR_7\, A_6\, R_7 \\
&=\mat{rrr}{ -0.2768139581 & 0.0000000000 & 0.0001366340 \\
0.0000000000 & 1.9062573852 & 0.0000004772 \\
0.0001366340 & 0.0000004772 & 11.3705565729 \\
}
\end{align}
\begin{align}
R_8 &= R(1, 3; -0.0000117309)\\
A_8 &= {}^tR_8\, A_7\, R_8 \\
&=\mat{rrr}{ -0.2768139597 & -0.0000000000 & -0.0000000000 \\
-0.0000000000 & 1.9062573852 & 0.0000004772 \\
0.0000000000 & 0.0000004772 & 11.3705565745 \\
}
\end{align}
\begin{align}
\require{color}
R_9 &= R(2, 3; -0.0000000504)\\
A_9 &= {}^tR_9\, A_8\, R_9 \\
&=\mat{rrr}{ -0.2768139597 & \textcolor{red}{-0.0000000000} & \textcolor{red}{-0.0000000000} \\
\textcolor{red}{-0.0000000000} & 1.9062573852 & \textcolor{red}{0.0000000000} \\
\textcolor{red}{0.0000000000} & \textcolor{red}{-0.0000000000} & 11.3705565745 \\
}
\end{align}
すなわち
\begin{align}
P &= R_1\,R_2\,R_3\,R_4\,R_5\,R_6\,R_7\,R_8\,R_9 \\
&=\mat{rrr}{ 0.9385567220 & -0.1080624304 & 0.3277709425 \\
-0.1070043104 & 0.8118025918 & 0.5740441007 \\
-0.3281179013 & -0.5738458531 & 0.7503596336 \\
}\\
\end{align}
を用いて
\begin{align}
P^{-1}\,A\,P
&={}^tP\,A\,P \\
&=\mat{rrr}{ -0.2768139597 & -0.0000000000 & 0.0000000000 \\
-0.0000000000 & 1.9062573852 & -0.0000000000 \\
0.0000000000 & -0.0000000000 & 11.3705565745 \\
}
\end{align}
と対角化できました。
このように 0 でない非対角成分（モグラ）を叩き続けて実対称行列を対角化する方法を「ヤコビ法」と呼びます。
なぜ収束するのかが知りたい人は付録を見てください。