数値解析 第15回 (3) $n$ 次実対称行列の対角化
$n$ 次の回転の行列
2次の実対称行列は回転の行列1個で対角化することができましたが、
$n$ 次の実対称行列も回転の行列をいくつか用いて対角化することができます。
Def.9 次の形の行列 $R(p,q;\theta)$ は、
$n$ 次元座標 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ のうち、$x_p$ と $x_q$ に関する角 $\theta$ の回転を表す。
$$
R(p,q;\theta)=
\mat{ccccc}{
& \vdots && \vdots & \\
\cdots & \cos\theta & \cdots & -\sin\theta & \cdots \\
& \vdots && \vdots & \\
\cdots & \sin\theta & \cdots & \cos\theta & \cdots \\
& \vdots && \vdots & \\}
$$
ただし、$\cos\theta$ は $(p,p)$-成分と $(q,q)$-成分、
$-\sin\theta$ は $(p,q)$-成分、
$\sin\theta$ は $(q,p)$-成分で、
これ以外の成分は単位行列に同じとする。
たとえば３次の回転の行列は次の３種類です：
$$
R(1,2;\theta)=
\mat{ccc}{
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1\\},
R(1,3;\theta)=
\mat{ccc}{
\cos\theta & 0 & -\sin\theta \\
0 & 1 & 0 \\
\sin\theta & 0 & \cos\theta \\},
$$
$$
R(2,3;\theta)=
\mat{ccc}{
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & \sin\theta & \cos\theta \\}
$$
２次の回転の行列と同じく、
$$R(p,q;\theta)^{-1}=R(p,q;-\theta)={}^{t}R(p,q;\theta)$$
が成り立ちます。
$n$ 次実対称行列の対角化
Th.10
任意の $n$ 次実対称行列 $A$ は、
$P = R_1 \, R_2 \, \cdots \, R_t$
( ただし $R_i$ は $R(p,q;\theta)$ の形の回転の行列 )
と書ける行列 $P$ を用いて
$P^{-1} \, A \, P = {}^tP \, A \, P = \dps{\mat{ccc}{\lambda_1 && \\ & \ddots & \\ && \lambda_n}}$
のように対角化できる。
（証明は付録へ。）
※ $n$ 次実対称行列によって表される $n$ 次元の一次変換は、
座標軸を適切に回転させると 各座標軸方向への拡大写像である、
ということです。