数値解析（塩田）2024年度

数値解析第15回 (2)　2次の実対称行列の対角化

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転置行列

Def.3　行列

$A=(a_{ij})$ に対し、

$a_{ij}$ を

$(j,i)$ -成分とする行列を「

$A$ の転置行列」と言い、

${}^tA$ と表す。

　たとえば

$\newcommand{\high}{\phantom{\Big(}}$

$\dps{\high^t\!\mat{c}{1 \\ 2} = (1\ \ 2)}$ ,

$\dps{\high^t\!\mat{cc}{1 & 2 \\ 3 & 4} = \mat{cc}{1 & 3 \\ 2 & 4}}$ であり、

$A$ が

$m \times n$ 行列ならば

${}^tA$ は

$n \times m$ 行列になります。また、

${}^t$ の記号は「

$t$ 乗」と間違わないように左肩に書く人が多いです。もちろん

${}^t({}^tA)=A$ が成り立ちます。

Prop.4　積の転置は、転置を逆順に掛けたものになる：

${}^t(AB)=({}^tB)({}^tA)$ ,

${}^t(A\vvv)=({}^t\vvv)({}^tA)$ etc.

Rem.5　角

$\theta$ の回転の行列

$R(\theta)$ の逆行列は、角

$-\theta$ の回転の行列

$R(-\theta)$ であり、

${}^tR(\theta)$ でもある。

$R(\theta)^{-1}=R(-\theta)={}^tR(\theta).$

$\because$ 逆向きに回せば元に戻るので

$R(\theta)^{-1}=R(-\theta)$ であり、

$\dps{R(-\theta) = \mat{rr}{\cos(-\theta) & - \sin(-\theta) \\ \sin(-\theta) & \cos(-\theta)} = \mat{rr}{\cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta} ={}^tR(\theta).}$

実対称行列

Def.6　

${}^tA=A$ を満たす正方行列を 対称行列 と呼び、特に実数成分の対称行列を 実対称行列 と呼ぶ。

　対角成分たちを対称軸にして、成分が対称になっている、という意味です。 2次、3次ではそれぞれ次のような行列です。

$\require{color} \mat{cc}{a & \textcolor{red}{b} \\ \textcolor{red}{b} & c}, \mat{ccc}{a & \textcolor{red}{b} & \textcolor{blue}{c} \\ \textcolor{red}{b} & d & \textcolor{green}{e} \\ \textcolor{blue}{c} & \textcolor{green}{e} & f}$

2次の実対称行列の対角化

Th.7　

$A=\mat{cc}{a & b \\ b & c}$ を2次の実対称行列とする。角

$\theta$ を

$\theta=\left\{ \begin{array}{lll} \dps{\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{2b}{a-c}\right)} & \mbox{ if} & a \neq c \\ \dps{\frac{\pi}{4}} & \mbox{ if} & a = c \end{array} \right.$ と選べば、

$R(\theta)$ によって

$A$ を対角化することができる：

$R(\theta)^{-1}\,A\,R(\theta) = \mat{cc}{\lambda & 0 \\ 0 & \mu}$ ,

$\exists\,\lambda$ ,

$\mu$

証明を見る

証明を折りたたむ　角

$\theta$ の回転の逆変換は角

$-\theta$ の回転ゆえ

$R(\theta)^{-1}=R(-\theta)$ ですから、

$\begin{align} &R(\theta)^{-1}\,A\,R(\theta) \\ & = R(-\theta)\,A\,R(\theta) \\ & = \mat{rr}{\cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta} \mat{cc}{a & b \\ b & c} \mat{rr}{\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta} \\ & = \mat{rr}{\cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta} \mat{cc}{a\cos\theta + b\sin\theta & -a\sin\theta + b\cos\theta \\ b\cos\theta + c\sin\theta & -b\sin\theta + c\cos\theta} \\ & = \mat{cc}{a\cos^2\theta + 2b\sin\theta\cos\theta + c \sin^2\theta & (-a+c)\sin\theta\cos\theta + b(\cos^2\theta-\sin^2\theta) \\ (-a+c)\sin\theta\cos\theta + b(\cos^2\theta-\sin^2\theta) & a\sin^2\theta - 2b\sin\theta\cos\theta + c\cos^2\theta}. \\ \end{align}$ すると、この (1,2)-成分 (

$=$ (2,1)-成分 ) は

$\begin{align} &(-a+c)\sin\theta\cos\theta + b(\cos^2\theta-\sin^2\theta) \\ & = -\frac{1}{2}(a-c)\sin(2\theta) + b \cos(2\theta) \\ & = \left\{ \begin{array}{lll} \dps{-\frac{1}{2}(a-c)\cos(2\theta)\left(\tan(2\theta) - \frac{2b}{a-c} \right) = 0} & \mbox{ if} & a \neq c, \\ \dps{b\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0} & \mbox{ if} & a = c \\ \end{array} \right. \end{align}$ となります。(証明終)

Ex.8　

$A=\mat{rr}{4 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 2}$ のとき、

$\dps{ \theta = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{2 \times \sqrt{3}}{3 - 1}\right) = \frac{1}{2}\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} }$ を用いて

$\dps{R\left(\frac{\pi}{6}\right)^{-1}\,\mat{rr}{4 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 2}\,R\left(\frac{\pi}{6}\right) = \mat{cc}{5 & 0 \\ 0 & 1}}$

2次曲線への応用

$xy$ -平面内の曲線

$C:\ 4x^2+2\sqrt{3}xy+2y^2=1$ はどんな図形であるかを調べましょう。左辺は実対称行列を用いて次のように書くことができます。

$4x^2+2\sqrt{3}xy+2y^2=(x\ \ y) \mat{cc}{4 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 2} \mat{c}{x \\ y}$ Ex.8 に見たように、

$\dps{ R\left(\frac{\pi}{6}\right)^{-1}\mat{cc}{4 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 2}R\left(\frac{\pi}{6}\right) = \mat{cc}{5 & 0 \\ 0 & 1} }$ ですから、座標軸を

$\pi/6$ 回転させて

$\dps{\mat{c}{x \\ y} = R\left(\frac{\pi}{6}\right) \mat{c}{X \\ Y}}$ とおくと

$\begin{align} (x\ \ y) \mat{cc}{4 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 2} \mat{c}{x \\ y} &= (X\ \ Y)R\left(-\frac{\pi}{6}\right) \mat{cc}{4 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 2} R\left(\frac{\pi}{6}\right) \mat{c}{X \\ Y} \\ &= (X\ \ Y)\mat{cc}{5 & 0 \\ 0 & 1}\mat{c}{X \\ Y} \\ &= 5X^2+Y^2\\ \end{align}$ となり、

$4x^2+2\sqrt{3}xy+2y^2=1$ という図形は

$XY$ -平面では

$5X^2+Y^2=1$ という楕円に相当します。 座標軸は回転で変換 しましたので、

$C$ は楕円

$5X^2+Y^2=1$ を回転させた図形であることがわかりました。

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