数値解析 第15回 (2) 2次の実対称行列の対角化
転置行列
Def.3 行列 $A=(a_{ij})$ に対し、$a_{ij}$ を $(j,i)$-成分とする行列を「 $A$ の転置行列」と言い、
${}^tA$ と表す。
たとえば
$\newcommand{\high}{\phantom{\Big(}}$
$\dps{\high^t\!\mat{c}{1 \\ 2} = (1\ \ 2)}$,
$\dps{\high^t\!\mat{cc}{1 & 2 \\ 3 & 4} = \mat{cc}{1 & 3 \\ 2 & 4}}$
であり、$A$ が $m \times n$ 行列ならば ${}^tA$ は $n \times m$ 行列になります。
また、${}^t$ の記号は「$t$ 乗」と間違わないように左肩に書く人が多いです。
もちろん ${}^t({}^tA)=A$ が成り立ちます。
Prop.4 積の転置は、転置を逆順に掛けたものになる：
${}^t(AB)=({}^tB)({}^tA)$,
${}^t(A\vvv)=({}^t\vvv)({}^tA)$ etc.
Rem.5 角 $\theta$ の回転の行列 $R(\theta)$ の逆行列は、
角 $-\theta$ の回転の行列 $R(-\theta)$ であり、
${}^tR(\theta)$ でもある。
$R(\theta)^{-1}=R(-\theta)={}^tR(\theta).$
$\because$ 逆向きに回せば元に戻るので $R(\theta)^{-1}=R(-\theta)$ であり、
$\dps{R(-\theta)
= \mat{rr}{\cos(-\theta) & - \sin(-\theta) \\ \sin(-\theta) & \cos(-\theta)}
= \mat{rr}{\cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta}
={}^tR(\theta).}$
実対称行列
Def.6 ${}^tA=A$ を満たす正方行列を 対称行列 と呼び、
特に実数成分の対称行列を 実対称行列 と呼ぶ。
対角成分たちを対称軸にして、成分が対称になっている、という意味です。
2次、3次ではそれぞれ次のような行列です。
$$
\require{color}
\mat{cc}{a & \textcolor{red}{b} \\ \textcolor{red}{b} & c},
\mat{ccc}{a & \textcolor{red}{b} & \textcolor{blue}{c} \\ \textcolor{red}{b} & d & \textcolor{green}{e} \\ \textcolor{blue}{c} & \textcolor{green}{e} & f}
$$
2次の実対称行列の対角化
Th.7 $A=\mat{cc}{a & b \\ b & c}$ を2次の実対称行列とする。角 $\theta$ を
$\theta=\left\{
\begin{array}{lll}
\dps{\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{2b}{a-c}\right)} & \mbox{ if} & a \neq c \\
\dps{\frac{\pi}{4}} & \mbox{ if} & a = c
\end{array}
\right.$
と選べば、$R(\theta)$ によって $A$ を対角化することができる：
$R(\theta)^{-1}\,A\,R(\theta) = \mat{cc}{\lambda & 0 \\ 0 & \mu}$, $\exists\,\lambda$, $\mu$
証明を折りたたむ
角 $\theta$ の回転の逆変換は角 $-\theta$ の回転ゆえ $R(\theta)^{-1}=R(-\theta)$ ですから、
\begin{align}
&R(\theta)^{-1}\,A\,R(\theta) \\
& = R(-\theta)\,A\,R(\theta) \\
& = \mat{rr}{\cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta} \mat{cc}{a & b \\ b & c} \mat{rr}{\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta} \\
& = \mat{rr}{\cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta} \mat{cc}{a\cos\theta + b\sin\theta & -a\sin\theta + b\cos\theta \\ b\cos\theta + c\sin\theta & -b\sin\theta + c\cos\theta} \\
& = \mat{cc}{a\cos^2\theta + 2b\sin\theta\cos\theta + c \sin^2\theta & (-a+c)\sin\theta\cos\theta + b(\cos^2\theta-\sin^2\theta) \\
(-a+c)\sin\theta\cos\theta + b(\cos^2\theta-\sin^2\theta) & a\sin^2\theta - 2b\sin\theta\cos\theta + c\cos^2\theta}. \\
\end{align}
すると、この (1,2)-成分 ( $=$ (2,1)-成分 ) は
\begin{align}
&(-a+c)\sin\theta\cos\theta + b(\cos^2\theta-\sin^2\theta) \\
& = -\frac{1}{2}(a-c)\sin(2\theta) + b \cos(2\theta) \\
& =
\left\{
\begin{array}{lll}
\dps{-\frac{1}{2}(a-c)\cos(2\theta)\left(\tan(2\theta) - \frac{2b}{a-c} \right) = 0} & \mbox{ if} & a \neq c, \\
\dps{b\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0} & \mbox{ if} & a = c \\
\end{array}
\right.
\end{align}
となります。(証明終)
Ex.8 $A=\mat{rr}{4 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 2}$ のとき、
$\dps{
\theta
= \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{2 \times \sqrt{3}}{3 - 1}\right)
= \frac{1}{2}\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}
}$
を用いて
$\dps{R\left(\frac{\pi}{6}\right)^{-1}\,\mat{rr}{4 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 2}\,R\left(\frac{\pi}{6}\right)
= \mat{cc}{5 & 0 \\ 0 & 1}}$
2次曲線への応用
$xy$-平面内の曲線
$$C:\ 4x^2+2\sqrt{3}xy+2y^2=1$$
はどんな図形であるかを調べましょう。
左辺は実対称行列を用いて次のように書くことができます。
$4x^2+2\sqrt{3}xy+2y^2=(x\ \ y) \mat{cc}{4 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 2} \mat{c}{x \\ y}$
Ex.8 に見たように、
$\dps{
R\left(\frac{\pi}{6}\right)^{-1}\mat{cc}{4 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 2}R\left(\frac{\pi}{6}\right) = \mat{cc}{5 & 0 \\ 0 & 1}
}$
ですから、座標軸を $\pi/6$ 回転させて
$\dps{\mat{c}{x \\ y} = R\left(\frac{\pi}{6}\right) \mat{c}{X \\ Y}}$
とおくと
\begin{align}
(x\ \ y) \mat{cc}{4 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 2} \mat{c}{x \\ y}
&= (X\ \ Y)R\left(-\frac{\pi}{6}\right) \mat{cc}{4 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 2} R\left(\frac{\pi}{6}\right) \mat{c}{X \\ Y} \\
&= (X\ \ Y)\mat{cc}{5 & 0 \\ 0 & 1}\mat{c}{X \\ Y} \\
&= 5X^2+Y^2\\
\end{align}
となり、$4x^2+2\sqrt{3}xy+2y^2=1$ という図形は $XY$-平面では $5X^2+Y^2=1$ という楕円に相当します。
座標軸は回転で変換 しましたので、$C$ は楕円 $5X^2+Y^2=1$ を回転させた図形であることがわかりました。