数値解析 第15回 (2) 2次の実対称行列の対角化
転置行列
前回も出てきましたが
Def.3 行列 A=(aij) に対し、aij を (j,i)-成分とする行列を「 A の転置行列」と言い、
tA と表す。
たとえば
(t(12)=(1 2),
(t(1234)=(1324)
であり、
A が
m×n 行列ならば
tA は
n×m 行列になります。
また、
t の記号は「
t 乗」と間違わないように左肩に書く人が多いです。
もちろん
t(tA)=A が成り立ちます。
Prop.4 積の転置は、転置を逆順に掛けたものになる:
t(AB)=(tB)(tA),
t(Av)=(tv)(tA) etc.
Rem.5 角 θ の回転の行列 R(θ) の逆行列は、
角 −θ の回転の行列 R(−θ) であり、
tR(θ) でもある。
R(θ)−1=R(−θ)=tR(θ).
∵ 逆向きに回せば元に戻るので
R(θ)−1=R(−θ) であり、
R(−θ)=(cos(−θ)−sin(−θ)sin(−θ)cos(−θ))=(cosθsinθ−sinθcosθ)=tR(θ).
実対称行列
Def.6 tA=A を満たす正方行列を 対称行列 と呼び、
特に実数成分の対称行列を 実対称行列 と呼ぶ。
対角成分たちを対称軸にして、成分が対称になっている、という意味です。
2次、3次ではそれぞれ次のような行列です。
(abbc), (abcbdecef)
2次の実対称行列の対角化
Th.7 A=(abbc) を2次の実対称行列とする。角 θ を
θ={12arctan(2ba−c) ifa≠cπ4 ifa=c
と選べば、R(θ) によって A を対角化することができる:
R(θ)−1AR(θ)=(λ00μ), ∃λ, μ
証明 角
θ の回転の逆変換は角
−θ の回転ゆえ
R(θ)−1=R(−θ) ですから、
R(θ)−1AR(θ) =R(−θ)AR(θ) =(cosθsinθ−sinθcosθ)(abbc)(cosθ−sinθsinθcosθ) =(cosθsinθ−sinθcosθ)(acosθ+bsinθ−asinθ+bcosθbcosθ+csinθ−bsinθ+ccosθ) =(acos2θ+2bsinθcosθ+csin2θ(−a+c)sinθcosθ+b(cos2θ−sin2θ)(−a+c)sinθcosθ+b(cos2θ−sin2θ)asin2θ−2bsinθcosθ+ccos2θ).
すると、この (1,2)-成分 (
= (2,1)-成分 ) は
(−a+c)sinθcosθ+b(cos2θ−sin2θ) =−12(a−c)sin(2θ)+bcos(2θ) ={−12(a−c)cos(2θ)(tan(2θ)−2ba−c)=0 ifa≠c,bcos(π2)=0 ifa=c
となります。(証明終)
Ex.8 A=(4√3√32) のとき、
θ=12arctan(2×√33−1)=12arctan(√3)=π6
を用いて
R(π6)−1(4√3√32)R(π6)=(5001)