数値解析 第15回 (2) 2次の実対称行列の対角化
転置行列
前回も出てきましたが たとえば $\newcommand{\high}{\phantom{\Big(}}$実対称行列
対角成分たちを対称軸にして、成分が対称になっている、という意味です。 2次、3次ではそれぞれ次のような行列です。 $$ \require{color} \mat{cc}{a & \textcolor{red}{b} \\ \textcolor{red}{b} & c}, \mat{ccc}{a & \textcolor{red}{b} & \textcolor{blue}{c} \\ \textcolor{red}{b} & d & \textcolor{green}{e} \\ \textcolor{blue}{c} & \textcolor{green}{e} & f} $$2次の実対称行列の対角化
証明 角 $\theta$ の回転の逆変換は角 $-\theta$ の回転ゆえ $R(\theta)^{-1}=R(-\theta)$ ですから、 \begin{align} &R(\theta)^{-1}\,A\,R(\theta) \\ & = R(-\theta)\,A\,R(\theta) \\ & = \mat{rr}{\cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta} \mat{cc}{a & b \\ b & c} \mat{rr}{\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta} \\ & = \mat{rr}{\cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta} \mat{cc}{a\cos\theta + b\sin\theta & -a\sin\theta + b\cos\theta \\ b\cos\theta + c\sin\theta & -b\sin\theta + c\cos\theta} \\ & = \mat{cc}{a\cos^2\theta + 2b\sin\theta\cos\theta + c \sin^2\theta & (-a+c)\sin\theta\cos\theta + b(\cos^2\theta-\sin^2\theta) \\ (-a+c)\sin\theta\cos\theta + b(\cos^2\theta-\sin^2\theta) & a\sin^2\theta - 2b\sin\theta\cos\theta + c\cos^2\theta}. \\ \end{align} すると、この (1,2)-成分 ( $=$ (2,1)-成分 ) は \begin{align} &(-a+c)\sin\theta\cos\theta + b(\cos^2\theta-\sin^2\theta) \\ & = -\frac{1}{2}(a-c)\sin(2\theta) + b \cos(2\theta) \\ & = \left\{ \begin{array}{lll} \dps{-\frac{1}{2}(a-c)\cos(2\theta)\left(\tan(2\theta) - \frac{2b}{a-c} \right) = 0} & \mbox{ if} & a \neq c, \\ \dps{b\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0} & \mbox{ if} & a = c \\ \end{array} \right. \end{align} となります。(証明終)