※　三角関数の加法公式は回転の行列で簡単に示せます。

※　三角関数の加法公式は回転の行列で　 角 $\beta$ の回転と角 $\alpha$ の回転を続けて行うと角 $\alpha+\beta$ の回転になりますので $R(\alpha+\beta) = R(\alpha)\,R(\beta).$ $$\begin{align} \therefore   &\mat{rr}{\cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) }\\ &   = \mat{rr}{\cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha } \mat{rr}{\cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta }\\ &   = \mat{rr}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta & -\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta \\ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta & -\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta }. \end{align}$$

※　Th.2 の証明をおさらいしておきましょう。

※　Th.2 の証明のおさらい　

1. 角 $\theta$ の回転では、
   • ２つのベクトルは足してから回しても、回してから足しても、結果は同じ
   • ベクトルはスカラー倍してから回しても、回してからスカラー倍しても、結果は同じ
   です。
2. すなわち、 原点中心の反時計回りの角 $\theta$ の回転を $f$ と表すと、 任意のベクトル $\vvv$, $\www$ と、任意のスカラー $\alpha$ に対して $f(\vvv+\www)=f(\vvv)+f(\www),   f(\alpha\vvv)=\alpha f(\vvv)$ が成り立ちます ( これを、$f$ は線形写像である、と言います ) 。
3. 標準基底ベクトルを角 $\theta$ 回転させた像は $\dps{f \mat{c}{1 \\ 0} = \mat{r}{\cos\theta \\ \sin\theta}}$,   $\dps{f \mat{c}{0 \\ 1} = \mat{r}{-\sin\theta \\ \cos\theta}}$ ですから $$\begin{align} f\mat{c}{x \\ y} &= f\left(x \mat{c}{1 \\ 0} + y \mat{c}{0 \\ 1}\right) \\ &= x f\mat{c}{1 \\ 0} + y f\mat{c}{0 \\ 1} \\ &= x \mat{r}{\cos\theta \\ \sin\theta} + y \mat{r}{-\sin\theta \\ \cos\theta} = \mat{rr}{\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta } \mat{c}{x \\ y} \end{align}$$ となります。

※　Th.2 の証明を複素平面でも考えてみましょう。

※　Th.2 の証明を複素平面で考える　 複素平面の極座標を使って $x+iy = re^{i\alpha}=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ と書いておくと、 $x+iy$ を反時計回りに角 $\beta$ 回転させた点 $x'+iy'$ は $re^{i(\alpha+\theta)}$ になりますので $$\begin{align} x'+iy' &= re^{i(\alpha+\theta)} \\ &= e^{i\theta}re^{i\alpha} \\ &= (\cos\theta+i\sin\theta)(x+iy) \\ &= \big(\cos\theta\times x - \sin\theta\times y \big) + i \big(\sin\theta\times x + \cos\theta\times y \big). \\ \therefore   x' &= \cos\theta\times x - \sin\theta\times y, \\ y' &= \sin\theta\times x + \cos\theta\times y. \\ \end{align}$$