数値解析 第12回 (5) ベクトルと行列のノルム

ベクトルのノルム

 予想 5 を議論するために、ベクトルや行列の「大きさ」を測る「ノルム」という概念を導入します。
Def.6 $n$ 次元ベクトル $\xxx=(x_i)$ の関数 $|\,\xxx\,|$ が次の条件を満たすとき、 「ノルム」と呼ぶ:
  1. $|\,\xxx\,| \geqq 0$
  2. $|\,\xxx\,| = 0$ $\Leftrightarrow$ $\xxx=\ooo$
  3. 実数 $\alpha$ に対して $|\,\alpha\xxx\,| = |\,\alpha\,|\times|\,\xxx\,|$. ( ただし $|\,\alpha\,|$ は実数の絶対値 )
  4. $|\,\xxx+\yyy\,| \leqq |\,\xxx\,|+|\,\yyy\,|$  ( 三角不等式 )
その意味合いは次の通りです:
  1. 「大きさ」と言うからには $0$ 以上であるべき。
  2. 「大きさ」が $0$ のベクトルはゼロベクトルであるべき。
  3. $\alpha$ 倍したら大きさも $|\,\alpha\,|$ になるべき。
  4. 三角形の2辺の長さの和は他の1辺の長さ以上になって欲しい。
 色々な関数が「ノルム」の条件を満たしますが、よく使われるのは次の3種類です。
Def.7 次の関数 $|\,\xxx\,|$ はいずれも「ノルム」の条件を満たす:
  1. $\dps{|\,\xxx\,|_1 = \sum_{i=1}^{n} |\,x_i\,|}$
  2. $|\,\xxx\,|_{2} = \sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$   ( ユークリッドノルム )
  3. $\dps{|\,\xxx\,|_{\infty} = \max_{1 \leqq i \leqq n} |\,x_i\,|}$
( 右辺の $|\,x_i\,|$ は実数としての絶対値です。)
Ex. 1次元 ( $n=1$ ) のときは、$\xxx=(x_1)$ に対して
$|\,\xxx\,|_1 = |\,\xxx\,|_{2} = |\,\xxx\,|_{\infty} = |\,x_1\,|$
となって、いずれも実数の絶対値そのものです。
Ex. $\xxx=\mat{r}{3 \\ -4}$ のときに 計算してみよう
  1. $|\,\xxx\,|_1 = $ ?
  2. $|\,\xxx\,|_{2} = $ ?
  3. $|\,\xxx\,|_{\infty} = $ ?
※ 状況によって扱いやすいノルムを用います。もちろん 混ぜて使ってはいけません

行列のノルム

 今度は、ベクトルの「ノルム」を用いて行列の「ノルム」を定義します。
Def.8 $n$ 次行列 $A=(a_{ij})$ のノルムを次式によって定める:
$\dps{ ||\,A\,||=\max_{\xxx \neq \ooo} \frac{|\,A\xxx\,|}{|\,\xxx\,|}}$
※ 行列式の記号と混同しないためにここでは $||\ \ ||$ で書くことにします。 ゼロベクトルでないベクトル $\xxx$ を $A$ 倍した時の拡大率 $\dps{\frac{|\,A\xxx\,|}{|\,\xxx\,|}}$ が最大でいくつになるか、 で行列の大きさを定義する訳です。

 ベクトルの長さとしてはユーリッドノルム $|\ \ |_{2}$ が自然で分かり易いのですが、 対応する行列のノルム $||\ \ ||_{2}$ が複雑で扱いにくい、という欠点があります。 これに対し、
Th.9 $|\ \ |_{\infty}$ に対応する行列のノルム $||\ \ ||_{\infty}$ は
$\dps{ ||\,A\,||_{\infty}=\max_{1 \leqq i \leqq n} \left( \sum_{j=1}^n |\,a_{ij}\,| \right). }$
すなわち $||\,A\,||_{\infty}$ は、行方向の $|\,a_{ij}\,|$ の和、のうちの最大の値である。
Ex. $\dps{A=\mat{rr}{1 & -3 \\ 2 & 4 \\}}$ のとき $$ ||\,A\,||_{\infty}=\max(\,|1|+|-3|,\, |2|+|4|\,) = \max(4,6) = 6 $$
実に簡明です。そこで今日は $|\ \ |_{\infty}$ と $||\ \ ||_{\infty}$ を採用します。

$\require{color}$

ノルムの性質

 定義より直ちに次が言えます:
Th.10 $|\ \ |_{\infty}$ と $||\ \ ||_{\infty}$ について次が成立する。
  1. $\forall\, i$ について   $|\,x_i\,| \leqq |\,\xxx\,|_{\infty}$
  2. $\forall\, \xxx$ について $|\,A\xxx\,|_{\infty} \leqq ||\,A\,||_{\infty} \times |\,\xxx\,|_{\infty}$
  3. $||\,AB\,||_{\infty} \leqq ||\,A\,||_{\infty} \times ||\,B\,||_{\infty}$

さて、この (1) より
Cor.11 ベクトル列 $\{\,\eee^{(k)}\,\}$ が
$\dps{\lim_{k \rightarrow \infty} \left|\,\eee^{(k)}\,\right|_{\infty} = 0}$
を満たせば
$e^{(k)} \longrightarrow \ooo$   ( $k\longrightarrow \infty$ )
すなわち、ノルムが 0 に収束するようなベクトル列はゼロベクトルに収束する。
以上の準備の元、次のページでは 予想 5 を定量的に議論しましょう。