数値解析（塩田）2022年度

数値解析第12回 (5)　ベクトルと行列のノルム

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ベクトルのノルム

　予想 5 を議論するために、ベクトルや行列の「大きさ」を測る「ノルム」という概念を導入します。

Def.6　

$n$ 次元ベクトル

$\xxx=(x_i)$ の関数

$|\,\xxx\,|$ が次の条件を満たすとき、「ノルム」と呼ぶ：

$|\,\xxx\,| \geqq 0$
$|\,\xxx\,| = 0$ $\Leftrightarrow$ $\xxx=\ooo$
実数 $\alpha$ に対して $|\,\alpha\xxx\,| = |\,\alpha\,|\times|\,\xxx\,|$ .　( ただし $|\,\alpha\,|$ は実数の絶対値 )
$|\,\xxx+\yyy\,| \leqq |\,\xxx\,|+|\,\yyy\,|$ ( 三角不等式 )

その意味合いは次の通りです：

「大きさ」と言うからには $0$ 以上であるべき。
「大きさ」が $0$ のベクトルはゼロベクトルであるべき。
$\alpha$ 倍したら大きさも $|\,\alpha\,|$ になるべき。
三角形の２辺の長さの和は他の１辺の長さ以上になって欲しい。

　色々な関数が「ノルム」の条件を満たしますが、よく使われるのは次の３種類です。

Def.7　次の関数

$|\,\xxx\,|$ はいずれも「ノルム」の条件を満たす：

$\dps{|\,\xxx\,|_1 = \sum_{i=1}^{n} |\,x_i\,|}$
$|\,\xxx\,|_{2} = \sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$ ( ユークリッドノルム )
$\dps{|\,\xxx\,|_{\infty} = \max_{1 \leqq i \leqq n} |\,x_i\,|}$

( 右辺の

$|\,x_i\,|$ は実数としての絶対値です。)

Ex.　1次元 (

$n=1$ ) のときは、

$\xxx=(x_1)$ に対して

$|\,\xxx\,|_1 = |\,\xxx\,|_{2} = |\,\xxx\,|_{\infty} = |\,x_1\,|$ となって、いずれも実数の絶対値そのものです。

Ex.　

$\xxx=\mat{r}{3 \\ -4}$ のときに計算してみよう

$|\,\xxx\,|_1 =$ ?
$|\,\xxx\,|_{2} =$ ?
$|\,\xxx\,|_{\infty} =$ ?

Ex.　

$\xxx=\mat{r}{3 \\ -4}$ のとき

$|\,\xxx\,|_1 = |\,3\,|+|\,-4\,|=7$
$|\,\xxx\,|_{2} = \sqrt{3^2+(-4)^2} = 5$
$|\,\xxx\,|_{\infty} = \max(|\,3\,|,|\,-4\,|)=4$

※　状況によって扱いやすいノルムを用います。もちろん混ぜて使ってはいけません。

行列のノルム

　今度は、ベクトルの「ノルム」を用いて行列の「ノルム」を定義します。

Def.8　

$n$ 次行列

$A=(a_{ij})$ のノルムを次式によって定める：

$\dps{ ||\,A\,||=\max_{\xxx \neq \ooo} \frac{|\,A\xxx\,|}{|\,\xxx\,|}}$

※　行列式の記号と混同しないためにここでは

$||\ \ ||$ で書くことにします。ゼロベクトルでないベクトル

$\xxx$ を

$A$ 倍した時の拡大率

$\dps{\frac{|\,A\xxx\,|}{|\,\xxx\,|}}$ が最大でいくつになるか、で行列の大きさを定義する訳です。

　ベクトルの長さとしてはユーリッドノルム

$|\ \ |_{2}$ が自然で分かり易いのですが、対応する行列のノルム

$||\ \ ||_{2}$ が複雑で扱いにくい、という欠点があります。これに対し、

Th.9　

$|\ \ |_{\infty}$ に対応する行列のノルム

$||\ \ ||_{\infty}$ は

$\dps{ ||\,A\,||_{\infty}=\max_{1 \leqq i \leqq n} \left( \sum_{j=1}^n |\,a_{ij}\,| \right). }$ すなわち

$||\,A\,||_{\infty}$ は、行方向の

$|\,a_{ij}\,|$ の和、のうちの最大の値である。

ちょっと長いけど証明を見る

証明　まず

$|\,A\xxx\,|_{\infty} = \dps{\max_{1 \leqq i \leqq n} \left|\,(A\xxx)_i\,\right|} = \dps{\max_{1 \leqq i \leqq n} \left|\,\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j\,\right|} \leqq \dps{\max_{1 \leqq i \leqq n} \left( \sum_{j=1}^{n} |\,a_{ij}\,| \times |\,x_j\,| \right)}$ 下記 Th.10 (1) より右辺

$\leqq \dps{\max_{1 \leqq i \leqq n} \left( \sum_{j=1}^{n} |\,a_{ij}\,| \times |\,\xxx\,|_{\infty} \right)} = \dps{\left(\max_{1 \leqq i \leqq n} \left( \sum_{j=1}^{n} |\,a_{ij}\,| \right)\right)} \times |\,\xxx\,|_{\infty}$ 従って

$||\,A\,||_{\infty} = \dps{\max_{\xxx \neq \ooo} \frac{|\,A\xxx\,|_{\infty}}{|\,\xxx\,|_{\infty}} \leqq \max_{1 \leqq i \leqq n} \left( \sum_{j=1}^{n} |\,a_{ij}\,| \right)}$ 等号は、

$\dps{\sum_{j=1}^{n} |\,a_{ij}\,|}$ が最大となる番号

$j$ について、

$\xxx=(x_i)$ を

$\dps{ x= \left\{ \begin{array}{rl} 1 & \quad\mbox{if}\quad a_{ij} \geqq 0 \\ -1 & \quad\mbox{if}\quad a_{ij} \lt 0 \\ \end{array} \right. }$ と定めれば成立する。(証明終)

Ex.　

$\dps{A=\mat{rr}{1 & -3 \\ 2 & 4 \\}}$ のとき

$||\,A\,||_{\infty}=\max(\,|1|+|-3|,\, |2|+|4|\,) = \max(4,6) = 6$

実に簡明です。そこで今日は

$|\ \ |_{\infty}$ と

$||\ \ ||_{\infty}$ を採用します。

$\require{color}$

ノルムの性質

　定義より直ちに次が言えます：

Th.10　

$|\ \ |_{\infty}$ と

$||\ \ ||_{\infty}$ について次が成立する。

$\forall\, i$ について $|\,x_i\,| \leqq |\,\xxx\,|_{\infty}$
$\forall\, \xxx$ について $|\,A\xxx\,|_{\infty} \leqq ||\,A\,||_{\infty} \times |\,\xxx\,|_{\infty}$
$||\,AB\,||_{\infty} \leqq ||\,A\,||_{\infty} \times ||\,B\,||_{\infty}$

一応証明を見ておく

証明

$|\,\xxx\,|_{\infty} = \dps{\max_{1 \leqq i \leqq n} |\,x_i\,|} \geqq |\,x_i\,|$
$\xxx = \ooo$ のときは両辺 $=0$ で成立。 $\xxx \neq \ooo$ ならば $\dps{ ||\,A\,||_{\infty}=\max_{\yyy \neq \ooo} \frac{|\,A\yyy\,|_{\infty}}{|\,\yyy\,|_{\infty}} \geqq \frac{|\,A\xxx\,|_{\infty}}{|\,\xxx\,|_{\infty}} }$
(2) より $\forall \xxx \neq \ooo$ について $|\,AB\xxx\,|_{\infty} \leqq ||\,A\,||_{\infty} \times |\,B\xxx\,|_{\infty} \leqq ||\,A\,||_{\infty} \times ||\,B\,||_{\infty} \times |\,\xxx\,|_{\infty}$ よって $\dps{ ||\,AB\,||_{\infty}=\max_{\xxx \neq \ooo} \frac{|\,AB\xxx\,|_{\infty}}{|\,\xxx\,|_{\infty}} \leqq ||\,A\,||_{\infty} \times ||\,B\,||_{\infty} }$ 　(証明終)

さて、この (1) より

Cor.11　ベクトル列

$\{\,\eee^{(k)}\,\}$ が

$\dps{\lim_{k \rightarrow \infty} \left|\,\eee^{(k)}\,\right|_{\infty} = 0}$ を満たせば

$e^{(k)} \longrightarrow \ooo$ (

$k\longrightarrow \infty$ ) すなわち、ノルムが 0 に収束するようなベクトル列はゼロベクトルに収束する。

以上の準備の元、次のページでは 予想 5 を定量的に議論しましょう。

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