数値解析（塩田）2022年度

数値解析第12回 (4)　収束性の観察

観察

　ここで試しに、Ex.1 の式の順番を逆にしてヤコビ法を実行してみましょう。

Ex.4　

$\dps{ \left\{ \begin{array}{l} \phantom{3}x+3y = 4\\ 3x-2y = 1\\ \end{array} \right. }$

ヤコビ法は

$\dps{ \left\{ \begin{array}{l} \small\mbox{新 }\normalsize x = 4-3\times\small\mbox{旧 }\normalsize y \\ \small\mbox{新 }\normalsize y = \dps{\frac{1}{2}} \left(-1+3\times\small\mbox{旧 }\normalsize x\right) \\ \end{array} \right. }$ となり、初期値

$(x,y)=(0,0)$ で実行すると次のようになります：

ヤコビ法
k =  0 : (x,y) = (0.0000000000, 0.0000000000)
k =  1 : (x,y) = (4.0000000000, -0.5000000000)
k =  2 : (x,y) = (5.5000000000, 5.5000000000)
k =  3 : (x,y) = (-12.5000000000, 7.7500000000)
k =  4 : (x,y) = (-19.2500000000, -19.2500000000)
k =  5 : (x,y) = (61.7500000000, -29.3750000000)
k =  6 : (x,y) = (92.1250000000, 92.1250000000)
k =  7 : (x,y) = (-272.3750000000, 137.6875000000)
k =  8 : (x,y) = (-409.0625000000, -409.0625000000)
k =  9 : (x,y) = (1231.1875000000, -614.0937500000)
k = 10 : (x,y) = (1846.2812500000, 1846.2812500000)
k = 11 : (x,y) = (-5534.8437500000, 2768.9218750000)
k = 12 : (x,y) = (-8302.7656250000, -8302.7656250000)
k = 13 : (x,y) = (24912.2968750000, -12454.6484375000)
k = 14 : (x,y) = (37367.9453125000, 37367.9453125000)
k = 15 : (x,y) = (-112099.8359375000, 56051.4179687500)
k = 16 : (x,y) = (-168150.2539062500, -168150.2539062500)

数がどんどん大きくなって収束しません。

$\require{color}$

考察

　ガウスの消去法や LU 分解法では、

$a_{ii}$ ( の絶対値 ) が小さいと

$\dps{\frac{1}{a_{ii}}}$ を掛けたときに誤差を増大させてしまう、という話がありました。 Ex.1, 4 で古い

$x$ ,

$y$ に掛かっている重み ( 色付きの係数 ) を見てみると

Ex.1 : $\dps{ \left\{ \begin{array}{l} \dps{\small\mbox{新 }\normalsize x = \frac{1}{3} + \textcolor{red}{\frac{2}{3}}\times\small\mbox{旧 }\normalsize y} \\ \dps{\small\mbox{新 }\normalsize y = \frac{4}{3} - \textcolor{red}{\frac{1}{3}}\times\small\mbox{旧 }\normalsize x} \\ \end{array} \right. }$
Ex.4 : $\dps{ \left\{ \begin{array}{l} \dps{\small\mbox{新 }\normalsize x = 4-\textcolor{blue}{3}\times\small\mbox{旧 }\normalsize y} \\ \dps{\small\mbox{新 }\normalsize y = -\frac{1}{2} + \textcolor{blue}{\frac{3}{2}}\times\small\mbox{旧 }\normalsize x} \\ \end{array} \right. }$

となっていて、重みが小さいと誤差を縮小して収束し、重みが大きいと誤差を増幅して発散しているようです。「重み」の分母は、アルゴリズムを見るとピボット

$a_{ii}$ であることから、次のことが予想されます。

予想 5　

$|\,a_{ii}\,|$ たちが大きいと収束しやすいのではないか。

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