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問題設定

　$f(x)$ を、プログラミング言語のライブラリで計算できる関数とし、 定積分 $\dps{\int_a^b f(x)dx}$ の近似値を計算したい、とします。

基本方針

　今からいくつかの数値積分法を紹介しますが、 共通する基本方針は次のとおりです：

1. 積分区間 $[\,a,b\,]$ をまず $N$ 等分する。
2. その $N$ 等分した小区間 $[\,\alpha,\beta\,]$ 内に $m+1$ 個の観測点 $$ \alpha \leqq x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_m \leqq \beta $$ を取り、$x_k$ での観測値を $y_k=f(x_k)$ ( $k=0,1,\cdots,m$ ) とおく。
3. 観測点 $x_k$ での「重み」$w_k$ を設定し、 $\dps{\sum_{k=0}^m w_k \times y_k}$ $\cdots\cdots$ $(\ast)$ を小区間 $[\,\alpha,\beta\,]$ での積分値 $\dps{\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx}$ の近似値とする。
4. $(\ast)$ の値を全ての小区間 $[\,\alpha,\beta\,]$ について足し合わせた値を $\dps{\int_a^b f(x)dx}$ の近似値とする。

設定のいろいろ

• 　設定すべき数 $N$, $m$, $x_k$, $w_k$ のうち
  1. $N$ は実行時に適切に設定します。
  2. $m$, $x_k$, $w_k$ は各数値積分法で決まっています。
• 　$x_k$, $w_k$ の決め方には次のような違いがあります：
  1. $x_k$ は等間隔に取り、$w_k$ を上手に決める方法：
     台形公式、シンプソンの公式、ニュートン・コーツの公式 etc.
  2. $x_k$ と $w_k$ をセットで上手に決める方法：
     ガウスの積分公式

今日は (1) を、次回は (2) をやります。

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