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数値解析 第5回 (3) 2階微分

2階の中心差分

 次は y の近似式を作ります。
アイデア Prop.2 の 2 つの式を今度は引いてみましょう:
\dps{(3)-(4)=y''(x)h+O(h^2)}
h で割ると y''(x) が出てきます:
\dps{\frac{1}{h}((3)-(4))=\frac{y(x+h)-2\,y(x)+y(x-h)}{h^2}=y''(x)+O(h)}
h^2 以上の項を h で割ると h^1 以上の項になるので、一番右は O(h) になっています。
Def.5 y''(x) の近似式
\dps{\frac{\delta^2 y}{\delta x^2}=\frac{y(x+h)-2\,y(x)+y(x-h)}{h^2}}\cdots\cdots (6)
を2階の中心差分と呼ぶ。
 アイデア では誤差は O(h) のように書きましたが、 テイラー展開をちゃんと書けば実は O(h^2) であることがわかります:
Prop.6  \dps{\frac{\delta^2 y}{\delta x^2}} の近似誤差はおおよそ
\dps{\left|\,\frac{1}{12}y^{(4)}(x)h^2\,\right|} =O(h^2)
であり、刻み幅 h の 2 乗オーダーになる。