数値解析（塩田）2022年度

数値解析第5回 (2)　１階微分

前へ / 戻る / 次へ

前進差分・後退差分

　まずは１階微分の近似式から。

アイデア　微分の定義は

$\dps{y'(x)=\lim_{t \rightarrow 0} \frac{y(x+t)-y(x)}{t}}$ でした。刻み幅

$h \gt 0$ が十分小さければ、

$t=h$ として

$y'(x)$ ≒

$\dps{\frac{y(x+h)-y(x)}{h}}$ であろうと考えられます。また

$t=-h$ とすれば

$y'(x)$ ≒

$\dps{\frac{y(x-h)-y(x)}{-h}=\frac{y(x)-y(x-h)}{h}}$ とも考えられます。

　そこで、

$y'(x)$ の近似式として、

Def.1

$\dps{\frac{\mathit{\Delta} y}{\mathit{\Delta} x}=\frac{y(x+h)-y(x)}{h}}$

$\cdots\cdots$

$(1)$ を前進差分 ( 前方差分 )、

$\dps{\frac{\nabla y}{\nabla x}=\frac{y(x)-y(x-h)}{h}}$

$\cdots\cdots$

$(2)$ を後退差分 ( 後方差分 )と呼ぶ。

$h$ を大き目にして誇張して描けば図のようになります：

青い線分の傾きが真の

$y'(x)$ , 赤い線分 (1) の傾きが前進差分、(2) の傾きが後退差分です。

前進差分・後退差分の誤差評価

Prop.2　

$\dps{\frac{\mathit{\Delta} y}{\mathit{\Delta} x}}$ ,

$\dps{\frac{\nabla y}{\nabla x}}$ の近似誤差は、いずれもおおよそ

$\dps{\left|\,\frac{1}{2}y''(x)h\,\right|}$ であり、刻み幅

$h$ の 1 乗オーダー

$O(h)$ になる。

証明　

$x$ での

$y(x)$ のテイラー展開から

$\dps{y(x+h)=y(x)+y'(x)h+\frac{1}{2}y''(x)h^2+O(h^3)}$ 従って

$\dps{\frac{\mathit{\Delta} y}{\mathit{\Delta} x} =\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=y'(x)+\frac{1}{2}y''(x)h +O(h^2)}$

$\cdots\cdots$

$(3)$ 高次の項

$O(h^2)$ は小さいので、前進差分の誤差は

$\dps{\left|\,\frac{\mathit{\Delta} y}{\mathit{\Delta} x}-y'(x)\,\right| =\left|\,\frac{1}{2}y''(x)h +O(h^2)\,\right|}$ ≒

$\dps{\left|\,\frac{1}{2}y''(x)h\,\right|}.$

$h$ の代わりに

$-h$ を入れた式

$\dps{y(x-h)=y(x)-y'(x)h+\frac{1}{2}y''(x)h^2+O(h^3)}$ からは

$\dps{\frac{\nabla y}{\nabla x} =\frac{y(x)-y(x-h)}{h}=y'(x)-\frac{1}{2}y''(x)h +O(h^2)}$

$\cdots\cdots$

$(4)$ となって同様です。(証明終)

中心差分

　前進差分・後退差分はいまいち精度が良くありません。そこで

次のアイデア　

$(3)$ と

$(4)$ の平均を取ると

$y''$ の項が消えます：

$\dps{ \frac{1}{2}\left( \frac{\mathit{\Delta} y}{\mathit{\Delta} x} +\frac{\nabla y}{\nabla x} \right) =\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h}=y'(x)+O(h^2)}$

$\cdots\cdots$

$(5)$

　名前を付けて

Def.3 　

$\dps{\frac{\delta y}{\delta x}=\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h}}$ を中心差分と呼ぶ。

　中心差分は

$h$ が多少大きくてもかなり

$y'(x)$ に近いことが図からもわかります：

赤い線分の傾きが中心差分で、多少

$h$ が大きくてもかなり真の

$y'(x)$ に近いことが見て取れます。

　そして、テイラー展開を

$h^3$ の項まで書けば誤差評価ができます。

Prop.4　

$\dps{\frac{\delta y}{\delta x}}$ の近似誤差はおおよそ

$\dps{\left|\,\frac{1}{6}y'''(x)h^2\,\right|}$ であり、刻み幅

$h$ の 2 乗オーダー

$O(h^2)$ になる。

証明を見る

証明

$\begin{align} y(x+h)&=y(x)+y'(x)h+\frac{1}{2}y''(x)h^2+\frac{1}{3!}y'''(x)h^3+O(h^4) \\ y(x-h)&=y(x)-y'(x)h+\frac{1}{2}y''(x)h^2-\frac{1}{3!}y'''(x)h^3+O(h^4) \\ \end{align}$ を辺々引いて

$\dps{y(x+h) - y(x-h)=2y'(x)h+\frac{2}{3!}y'''(x)h^3+O(h^4)}$

$\dps{\frac{\delta y}{\delta x} = \frac{y(x+h) - y(x-h)}{2h}=y'(x)+\frac{1}{3!}y'''(x)h^2+O(h^3)}$

$\therefore$

$\dps{\left| \frac{\delta y}{\delta x} - y'(x) \right| = \left| \frac{1}{3!}y'''(x)h^2+O(h^3) \right| \mbox{≒} \left| \frac{1}{3!}y'''(x)h^2\right|}$

前へ / 戻る / 次へ