Def.1　$n$ 次正方行列 $A$ に対し、 スカラー $\lambda$ と、 $\ooo$ でないベクトル $\vvv$ が $\dps{A \vvv = \lambda \vvv}$ を満たすとき

• $\lambda$ を「 $A$ の固有値」、
• $\vvv$ を、「固有値 $\lambda$ に対する $A$ の固有ベクトル」

と呼ぶ。

Rem.2　$A$, $\lambda$ が何であっても $A\ooo=\lambda\ooo$ は成り立つので、$\ooo$ は $A$ の特性を表していません。 そのため、固有ベクトルには「$\ooo$ でない」という条件が付いています。 ここ大事！

Rem.3　$\vvv$ が $\lambda$ に対する $A$ の固有ベクトルであれば、 $\vvv$ の $0$ でないスカラー倍 $\www = k \vvv \quad$ ( $k \neq 0$ ) も $\lambda$ に対する $A$ の固有ベクトルになります。 ( $\because$ $A \www$ $=A(k\vvv)$ $=kA\vvv$ $=k\lambda\vvv$ $=\lambda(k\vvv)$ $=\lambda\www$ )

　すなわち固有ベクトルは「方向が問題」なので、方向が同じ固有ベクトルは「同じもの」として扱います。 ここも大事！

Prop.4　$A$ が対角行列であれば、その固有値は $A$ の対角成分であり、 標準基底ベクトルが固有ベクトルである。

Ex.5　$\dps{A=\mat{rr}{-3 & 0 \\ 0 & 2}}$ のとき

答えの書き方　慣例として $\lambda_1=-3,\ \vvv_1=\mat{c}{1 \\ 0}$;  $\lambda_2=2,\ \vvv_2=\mat{c}{0 \\ 1}$ と書けば十分です。

Ex.6　$\dps{A=\mat{rr}{3 & 1 \\ 1 & 3 }}$ のとき $\lambda_1=4,\ \vvv_1=\mat{c}{1 \\ 1}$;  $\lambda_2=2,\ \vvv_2=\mat{r}{1 \\ -1}$