数値解析（塩田）2020年度

数値解析第6回 (4)　ニュートン・コーツの公式

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ラグランジュ補間の利用

　台形公式は、

$y=f(x)$ の線形補間を

$y=p(x)$ として

$\dps{\int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx}$ ≒

$\dps{\int_{\alpha}^{\beta} p(x) dx}$ と近似する公式、と言えます。そこでもっと次数を上げて

$m$ 次のラグランジュ補間 (

$m \geqq 2$ ) を用いることを考えてみましょう。

$m$ 次のラグランジュ補間は $m+1$ 個の観測点で決めましたので、小区間 $[\,\alpha,\beta\,]$ を更に $m$ 等分して $\alpha = x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_m = \beta$ とします。ただし、 $\dps{x_k=\alpha + k \left(\frac{\beta-\alpha}{m}\right) =\alpha + k \left(\frac{b-a}{Nm}\right)}$ ( $k=0,1,\cdots,m$ ) です。
$\{\,(x_k,y_k)\,\}_{k=0,1,\cdots,m}$ に関する $m$ 次ラグランジュ補間多項式を $p(x)$ として $\dps{\int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx}$ ≒ $\dps{\int_{\alpha}^{\beta} p(x) dx}$ と近似します。

　例えば 2 次のラグランジュ補間を用いるときは、小区間

$[\,\alpha,\beta\,]$ の両端を

$x_0$ ,

$x_2$ , 中点を

$x_1$ として

$\{\,(x_k,y_k)\,\}_{k=0,1,2}$ を通る放物線が

$y=p(x)$ になり、ます。

ニュートン・コーツの公式

　こう書いてくると

$p(x)$ を具体的に求める必要があるように思えますが、実はその必要はありません。

公式 (8.20) ( 小区間 )　

$\dps{\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx}$ ≒

$\dps{\mathit{\Delta} x \times \sum_{k=0}^{m} c_k \times y_k}$
ただし

$\mathit{\Delta}x=$ ( $x$ の刻み幅 ) $\dps{=\frac{\beta-\alpha}{m}=\frac{b-a}{Nm}}$ ,
$x_k=\alpha+k\mathit{\Delta} x$ ,
$y_k=f(x_k)$

で、

$c_k$ は表 ( 教科書 p.176, 表8.1 など ) から拾って使う。

※　積分区間全体ではこの値を全ての小区間について足し合わせます。

公式 (8.20) の仕組み　たとえば

$m=2$ のとき、

$p(x)$ は 3 つの 2 次式

$p_0(x)$ ,

$p_1(x)$ ,

$p_2(x)$ を用いて

$p(x)=y_0 \times p_0(x) + y_{1} \times p_{1}(x) + y_{2} \times p_{2}(x)$ と書けていました（第４回参照）。ゆえに

$\dps{\int_{\alpha}^{\beta}p(x)dx=y_0 \int_{\alpha}^{\beta}p_0(x)dx + y_{1} \int_{\alpha}^{\beta}p_{1}(x)dx + y_{2} \int_{\alpha}^{\beta} p_{2}(x)dx}$ となりますが、この

$\dps{\int_{\alpha}^{\beta}p_k(x)dx}$ の値が

$\mathit{\Delta}x\times$ ( 定数

$c_k$ ) になります。

もっと詳しく見る

$c_k$ の計算式は

$\dps{c_k=\int_0^m \Bigg(\ \mathop{\prod_{0 \leqq j \leqq m}}_{j \neq m} \frac{t-j}{k-j}\ \Bigg) \,dt}$ です。例えば

$m=2$ のときの

$c_1$ は

$\dps{c_1=\int_0^2 \left(\frac{t-0}{1-0}\right)\left(\frac{t-2}{1-2}\right) \,dt=\frac{4}{3}}$ となります。

$c_k$ には次のような性質もあります：

$c_{m-k}=c_k$ すなわち $c_k$ の表は左右対称になる
$\dps{\sum_{k=0}^m c_k = m}$

$m=1,2,3$ のときのニュートン・コーツの公式

には別名が付いています:

$m=1$ のときは 台形公式 でした。

$m=2$ のときを シンプソンの公式 と言います:

$\dps{\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx}$ ≒

$\dps{\frac{\beta-\alpha}{6}(y_0+4y_1+y_2)}$

$m=3$ のときを シンプソンの $\dps{\frac{3}{8}}$ 公式 と言います:

$\dps{\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx}$ ≒

$\dps{\frac{\beta-\alpha}{8}(y_0+3y_1+3y_2+y_3)}$

実装上の注意

　次数

$m$ を大きくするとラグランジュ補間には不自然な凹凸ができ（ルンゲ現象）、積分値の精度にも影響が出てくるので、

$m$ を大きくするよりは、積分区間の分割数

$N$ を大きくする方が良いとされています。

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