組合せとグラフの理論（塩田）2024年度

組合せとグラフの理論（塩田）第7回 (5)　電気回路への応用

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電気回路への応用

　まずは教科書 p.77 の図を見てください。

$R_j$ は各抵抗の抵抗値を表します。
$i_j$ は各配線の電流量を表します。( 矢印の方向を＋とします。)
$E$ は起電力です。
上手に描けていませんが、$VZ$ と $WY$ は交差していないと思ってください。

問題18　$E$ と $R_j$ ( $j=1,2,\cdots$ ) の値を決めたとき、$i_j$ ( $j=1,2,\cdots$ ) の値を求めよ。

　この手の問題を解くときに用いるのが

キルヒホフの法則

各頂点での電流の総和は $0$ である。
各閉路で、電源の電圧の和 $=$ ( 抵抗値 $\times$ 電流量 ) の和、が成り立つ。

　(i) は、各頂点で、流入する電流量と流出する電流量が釣り合う、ということです。
　(ii) は、電流が抵抗を流れると、( 抵抗値 $\times$ 電流量 ) だけの電圧降下をもたらし、閉路を一周すると、その電圧降下と供給される電圧が釣り合う、ということです。

Ex.19　3 つの閉路 $C_1=$

$C_2=$

$D=$

について (ii) 式を書き下すと $\begin{array}{llll} C_1 &\!\!\!:&\! R_1i_1 + R_2i_2=E & \cdots\ (1)\\ C_2 &\!\!\!:&\! R_3i_3 + R_4i_4-R_2i_2=0 & \cdots\ (2)\\ D &\!\!\!:&\! R_1i_1 + R_3i_3+R_4i_4=E & \cdots\ (3)\\ \end{array}$

　電気回路を表すグラフを $G$ として

Algorithm 20（問題18 の解法）

$G$ の全域木 $T$ をひとつ求める。
$T$ に関連した基本閉路集合 ${\cal F}(T)$ を求める。
(i) の式を各頂点について書く。
(ii) の式を ${\cal F}(T)$ の各閉路 について書く。(ここ大事！)
3-4°の式を $i_j$ たちの連立一次方程式として解く。

　(ii) の式を ${\cal F}(T)$ の各閉路についてだけ書けばよい理由は次の命題です。

Prop.21　閉路たちが $D=C_1 \oplus C_2 \oplus \cdots \oplus C_s$ の関係にあれば ( $D$ についての (ii) 式 ) $=$ ( $C_j$ についての (ii) 式 ) の和が成り立つ。

　任意の閉路は基本閉路の和として表せますので、その閉路についての (ii) 式は基本閉路についての (ii) 式から自動的に出てくる、という訳です。
　Ex.19 では確かに $D=C_1 \oplus C_2$ に従って (3) $=$ (1) $+$ (2) となっていますね。

Rem.22　実際には (i) の式は頂点のうち 1 つだけは省けます。その理由は、他のすべての頂点で電流の出入りが釣り合っているので、自動的に最後の頂点でも釣り合ってしまうのです。

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