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応用数学 第14回 (2) 連立微分方程式の場合

教科書 p.72, 問題 4.3 (4)

 ふたつの未知関数 x=x(t), y=y(t) についての連立微分方程式を、 ラプラス変換を使って解いてみましょう。
{x+3x+y=0,x(0)=0,10x+y3y=2et,y(0)=0.
 L(x(t))=X(s)=X, L(y(t))=Y(s)=Y とおくと、表 II 6 と初期条件より L(x)=sXx(0)=sX,L(y)=sYy(0)=sY. よって 表 II 1 より L(x+3x+y)=L(x)+3L(x)+L(y)=sX+3X+Y=(s+3)X+Y,L(10x+y3y)=10L(x)+L(y)3L(y)=10X+sY3Y=10X+(s3)Y また 表 I 6 より
L(2et)=2s1.
従って像方程式は (s+3110s3)(XY)=(02s1) となります。よって (XY)=1(s+3)(s3)1×(10)(s3110s+3)(02s1)=1s2+1(2s12(s+3)s1) 部分分数展開すると X=2(s2+1)(s1)=(ss2+1)+(1s2+1)(1s1),Y=2s+6(s2+1)(s1)=4(ss2+1)2(1s2+1)+4(1s1). 従って x(t)=L1(ss2+1)+L1(1s2+1)L1(1s1)=cos(t)+sin(t)et,y(t)=4L1(ss2+1)2L1(1s2+1)+4L1(1s1)=4cos(t)2sin(t)+4et. ( 教科書巻末の答では x(0)=1 になるので、問題の初期条件を印刷ミスしたのかもしれません。)