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教科書 p.72, 問題 4.3 (4)

　ふたつの未知関数 $x=x(t)$, $y=y(t)$ についての連立微分方程式を、 ラプラス変換を使って解いてみましょう。 　$\LT(x(t))=X(s)=X$, $\LT(y(t))=Y(s)=Y$ とおくと、表 II 6 と初期条件より \begin{align} \LT(x')&=sX-x(0)=sX,\\ \LT(y')&=sY-y(0)=sY. \end{align} よって 表 II 1 より \begin{align} \LT(x'+3x+y) &=\LT(x')+3\LT(x)+\LT(y) \\ &=sX+3X+Y \\ &=(s+3)X+Y,\\ \LT(-10x+y'-3y) &=-10\LT(x)+\LT(y')-3\LT(y) \\ &=-10X+sY-3Y \\ &=-10X+(s-3)Y \end{align} また 表 I 6 より $\dps{\LT(2e^{t})=\frac{2}{s-1}}$. 従って像方程式は $$ \left( \begin{array}{cc} s+3 & 1 \\ -10 & s-3 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \frac{2}{s-1} \end{array} \right) $$ となります。よって \begin{align} \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right) &= \frac{1}{(s+3)(s-3)-1\times(-10)} \left( \begin{array}{cc} s-3 & -1 \\ 10 & s+3 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ \frac{2}{s-1} \end{array} \right) \\ &= \frac{1}{s^2+1} \left( \begin{array}{c} \frac{-2}{s-1} \\ \frac{2(s+3)}{s-1} \end{array} \right) \\ \end{align} 部分分数展開すると \begin{align} X&=\frac{-2}{(s^2+1)(s-1)}=\left(\frac{s}{s^2+1}\right)+\left(\frac{1}{s^2+1}\right)-\left(\frac{1}{s-1}\right), \\ Y&=\frac{2s+6}{(s^2+1)(s-1)}=-4\left(\frac{s}{s^2+1}\right)-2\left(\frac{1}{s^2+1}\right)+4\left(\frac{1}{s-1}\right). \\ \end{align} 従って \begin{align} x(t)&=\LT^{-1}\left(\frac{s}{s^2+1}\right)+\LT^{-1}\left(\frac{1}{s^2+1}\right)-\LT^{-1}\left(\frac{1}{s-1}\right) \\ &=\cos(t)+\sin(t)-e^t, \\ y(t)&=-4\LT^{-1}\left(\frac{s}{s^2+1}\right)-2\LT^{-1}\left(\frac{1}{s^2+1}\right)+4\LT^{-1}\left(\frac{1}{s-1}\right) \\ &=-4\cos(t)-2\sin(t)+4e^t. \\ \end{align} ( 教科書巻末の答では $x(0) = 1$ になるので、問題の初期条件を印刷ミスしたのかもしれません。)

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