応用数学（塩田）2022年度

応用数学第8回 (4)　ルジャンドル多項式 $P_N(x)$ たちの直交性

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関数の内積

　以前、関数はベクトルと思え、という話をしました。ベクトルには内積というものがありました。そこで

Def.7　区間

$[-1,1]$ 上の滑らかな関数

$f(x)$ ,

$g(x)$ に対し、

$\newcommand{\ip}[2]{\langle#1,\, #2\rangle}$

$\dps{\ip{f}{g}=\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\,dx}$ と定めると、これは内積になる。

　内積になる、とは次の4つの性質を持つ、ということです。

双線形性：
- $\ip{f+g}{h}=\ip{f}{h}+\ip{g}{h}$
- $\ip{f}{g+h}=\ip{f}{g}+\ip{f}{h}$
- $\ip{cf}{g}=\ip{f}{cg}=c\ip{f}{g}$
正値性： $\dps{\ip{f}{f} \geqq 0}$
非退化： $\ip{f}{f}=0$ ならば $f(x)=0$
対称性： $\ip{f}{g}=\ip{g}{f}$

　内積が定義できればベクトルの長さや角度を測ることができ、内積に関する色々な公式・定理がこの関数の内積でも使えます。

$P_N(x)$ たちの直交性

　ルジャンドル多項式の著しい性質は

Th.8　

$P_N(x)$ たちはこの内積に関して互いに直交している：

$N \neq M$

$\Rightarrow$

$\ip{P_N}{P_M}=0$

※　この直交性が「ガウスの積分公式」の精度の良さの根拠になります。詳しくは「数値解析」の授業をお楽しみに。

Lemma.9　

$f(x)$ を与えられた関数とし、パラメータ

$\lambda$ を含んだ微分方程式

$\begin{equation} (fy')'+\lambda y = 0 \tag{$\star_\lambda$} \end{equation}$ を考える。２つの異なるパラメータ

$\lambda$ ,

$\mu$ (

$\lambda \neq \mu$ ) について

$y$ は $(\star_\lambda)$ の解
$z$ は $(\star_\mu)$ の解

であれば

$\begin{equation} \dps{\int_a^b yz \,dx = \frac{1}{\mu - \lambda}\left[f(y'z-yz')\right]_a^b} \end{equation}$

証明　

$\begin{align} \left\{f(y'z-yz')\right\}' & = f'(y'z-yz') + f(y''z + y'z' - y'z' - y z'') \\ & = (f'y' + fy'')z - (f'z' + f z'')y \\ & = (fy')'z-(fz')'y \\ & = (-\lambda y)z - (-\mu z)y = (\mu - \lambda)yz \\ \end{align}$ ゆえ。(証明終)

Th.8 の証明　L'a 9 で

$f=1-x^2$ とすると

$(fy')' = fy'' + f'y' = (1-x^2)y'' -2xy'$ ゆえ、

$\lambda=N(N+1)$ のときの

$(\star_\lambda)$ がルジャンドルの微分方程式となります。従って

$\lambda=N(N+1)$ のときの $(\star_\lambda)$ の解が $y=P_N(x)$
$\mu=M(M+1)$ のときの $(\star_\mu)$ の解が $z=P_M(x)$

で、

$\ip{P_N}{P_M} = \int_{-1}^1 yz\,dx = \dps{\frac{1}{\mu - \lambda}\Big[(1-x^2)(y'z-yz')\Big]_{-1}^1} = 0$ (証明終)

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