応用数学 第8回 (4) ルジャンドル多項式 $P_N(x)$ たちの直交性
関数の内積
以前、関数はベクトルと思え、という話をしました。
ベクトルには内積というものがありました。
そこで
Def.7 区間 $[-1,1]$ 上の滑らかな関数 $f(x)$, $g(x)$ に対し、
$\newcommand{\ip}[2]{\langle#1,\, #2\rangle}$
$\dps{\ip{f}{g}=\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\,dx}$
と定めると、これは内積になる。
内積になる、とは次の4つの性質を持つ、ということです。
- 双線形性：
- $\ip{f+g}{h}=\ip{f}{h}+\ip{g}{h}$
- $\ip{f}{g+h}=\ip{f}{g}+\ip{f}{h}$
- $\ip{cf}{g}=\ip{f}{cg}=c\ip{f}{g}$
- 正値性： $\dps{\ip{f}{f} \geqq 0}$
- 非退化： $\ip{f}{f}=0$ ならば $f(x)=0$
- 対称性： $\ip{f}{g}=\ip{g}{f}$
内積が定義できればベクトルの長さや角度を測ることができ、
内積に関する色々な公式・定理がこの関数の内積でも使えます。
$P_N(x)$ たちの直交性
ルジャンドル多項式の著しい性質は
Th.8 $P_N(x)$ たちはこの内積に関して互いに直交している：
$N \neq M$ $\Rightarrow$ $\ip{P_N}{P_M}=0$
※ この直交性が「ガウスの積分公式」の精度の良さの根拠になります。
詳しくは「数値解析」の授業をお楽しみに。
Lemma.9 $f(x)$ を与えられた関数とし、パラメータ $\lambda$ を含んだ微分方程式
\begin{equation}
(fy')'+\lambda y = 0 \tag{$\star_\lambda$}
\end{equation}
を考える。２つの異なるパラメータ $\lambda$, $\mu$ ( $\lambda \neq \mu$ ) について
- $y$ は $(\star_\lambda)$ の解
- $z$ は $(\star_\mu)$ の解
であれば
\begin{equation}
\dps{\int_a^b yz \,dx = \frac{1}{\mu - \lambda}\left[f(y'z-yz')\right]_a^b}
\end{equation}
証明
\begin{align}
\left\{f(y'z-yz')\right\}'
& = f'(y'z-yz') + f(y''z + y'z' - y'z' - y z'') \\
& = (f'y' + fy'')z - (f'z' + f z'')y \\
& = (fy')'z-(fz')'y \\
& = (-\lambda y)z - (-\mu z)y = (\mu - \lambda)yz \\
\end{align}
ゆえ。(証明終)
Th.8 の証明 L'a 9 で $f=1-x^2$ とすると
$(fy')' = fy'' + f'y' = (1-x^2)y'' -2xy'$
ゆえ、
$\lambda=N(N+1)$
のときの $(\star_\lambda)$ がルジャンドルの微分方程式となります。従って
- $\lambda=N(N+1)$ のときの $(\star_\lambda)$ の解が $y=P_N(x)$
- $\mu=M(M+1)$ のときの $(\star_\mu)$ の解が $z=P_M(x)$
で、
$\ip{P_N}{P_M}
= \int_{-1}^1 yz\,dx = \dps{\frac{1}{\mu - \lambda}\Big[(1-x^2)(y'z-yz')\Big]_{-1}^1} = 0 $
(証明終)