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級数解法の例 その１

　微分方程式の解が整級数の形であると仮定して、 係数比較によって解を求める解法を 級数解法 と呼びます。 解　$y=y(x)$ が整級数 $(\ast)$ の形であると仮定します。 まず $c_0=y(0)=1$ から $y = 1 + c_1\, x + c_2\, x^2 + c_3\, x^3 + \cdots $ であり、 $\require{color}$ $y^2 = \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{2\,c_1}\, x + \textcolor{green}{(c_1^2+2\,c_2)}\, x^2 + \textcolor{purple}{2\,(c_1c_2+c_3)}\,x^3 + \cdots $ となります。これと $y' = \textcolor{red}{c_1} + \textcolor{blue}{2\,c_2}\, x + \textcolor{green}{3\, c_3}\, x^2 + \textcolor{purple}{4\, c_4}\, x^3 + \cdots $ を係数比較して \begin{align} \textcolor{red}{c_1} & = \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{2\, c_2} &= \textcolor{blue}{2 \, c_1} = 2 & \therefore   c_2 = 1 \\ \textcolor{green}{3\, c_3} &= \textcolor{green}{c_1^2 + 2 \, c_2} = 3 & \therefore   c_3 = 1 \\ \textcolor{purple}{4\, c_4} &= \textcolor{purple}{2\,(c_1c_2 + c_3)} = 4 & \therefore   c_4 = 1 \\ \end{align} どうやら $y = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots = \dps{\frac{1}{1-x}}$ のようです。

検算　$y(0) = 1$ は良くて、 $y' = \left((1-x)^{-1}\right)' = (-1)(1-x)^{-2}(1-x)' = (1-x)^{-2} = y^2$. 正解です。

級数解法の例 その２

解　今度は $\sum$ を使った式で計算しましょう。 $\dps{y = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n}$ とすると $\dps{y' = \sum_{n=0}^{\infty} n \, c_n x^{n-1}}$ より $\dps{xy' = \sum_{n=0}^{\infty} n \, c_n x^n}$ また $\dps{y'' = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) \, c_n\, x^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) \, c_{n+2}\, x^n}$ よって 左辺の $x^n$ の係数 $= (n+2)(n+1)\,c_{n+2} - n\,c_n - c_n = (n+1)\big\{(n+2)\,c_{n+2}-c_n\big\}$ これが $0$ なので $\dps{c_{n+2} = \frac{1}{n+2}\,c_n},$   $\forall\,n$ すると $n$ が偶数のとき $c_n$ は $c_0$ で書けて $\dps{c_2 = \frac{1}{2}c_0}$,   $\dps{c_4 = \frac{1}{4}c_2 = \frac{1}{4\times 2}c_0}$,   $\dps{c_6 = \frac{1}{6}c_4 = \frac{1}{6\times 4\times 2}c_0},$   $\cdots$ また $n$ が奇数のとき $c_n$ は $c_1$ で書けて $\dps{c_3 = \frac{1}{3}c_1}$,   $\dps{c_5 = \frac{1}{5}c_3 = \frac{1}{5\times 3}c_1}$,   $\dps{c_7 = \frac{1}{7}c_5 = \frac{1}{7\times 5\times 3}c_1},$   $\cdots$ よって \begin{align} y & = c_0 + c_1 x + \frac{1}{4\times 2}c_0\,x^2 + \frac{1}{5\times 3}c_1\,x^3 + \cdots \\ & = \dps{ c_0 \left( 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4\times 2}x^4 + \frac{1}{6\times 4\times 2}x^6 + \cdots \right) } \\ & + \dps{ c_1 \left( x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5\times 3}x^5 + \frac{1}{7\times 5\times 3}x^7 + \cdots \right)} \\ \end{align} すなわち \begin{align} f & = \dps{1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4\times 2}x^4 + \frac{1}{6\times 4\times 2}x^6 + \cdots} \\ g & = \dps{x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5\times 3}x^5 + \frac{1}{7\times 5\times 3}x^7 + \cdots} \\ \end{align} と置けば、 $y=c_0\,f + c_1 \, g$   ( $c_0$, $c_1$ は任意定数 ) と書け、2階線形微分方程式の一般解(2次元)の基底が $f$ と $g$ ということになります。

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