応用数学（塩田）2022年度

応用数学第6回 (1)　問題設定

問題設定

　今日は 定数係数の

$n$ 階線形微分方程式

$a_0\, y^{(n)} + a_1\, y^{(n-1)} + \cdots + a_n\, y = R(x) \tag{10.1}$ を扱います。ここで

$a_0$ ,

$a_1$ ,

$\cdots$ ,

$a_n$ は定数 (

$a_0 \neq 0$ ) で、

$R(x)$ だけは関数です。

　2 階の場合と同じく、右辺を

$=0$ に置き換えた同次微分方程式

$a_0\, y^{(n)} + a_1\, y^{(n-1)} + \cdots + a_n\, y = 0 \tag{9.3}$ を

$(10.1)$ の補助方程式と言い、次が成り立ちます：

$(10.1)$ の一般解

$y$ は、ひとつの特殊解

$y_0$ と、補助方程式

$(9.3)$ の一般解

$Y$ の和である：

$y=y_0 + Y$

補助方程式

$(9.3)$ の解たちは

$n$ 次元のベクトル空間を成す

$(10.1)$ の一般解

$y$ を求めることは次の二つの作業に分けられる：

証明は第3回の 2 階の場合と全く同様なので省略します。

　この (1), (2) を機械的に解くための道具を次のページで導入します。