応用数学（塩田）2022年度

応用数学第3回 (3)　線形微分方程式の攻め方

前へ / 戻る / 次へ

２階線形微分方程式

　まずは定義から。

Def.5　

$x$ の関数

$y=y(x)$ に関する次の形の微分方程式を ２階線形微分方程式 と言う：

$y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=R(x) \tag{7.2}$ ただし、

$P(x)$ ,

$Q(x)$ ,

$R(x)$ は与えられた

$x$ の関数とする。

$x$ の関数を係数にした

$y$ ,

$y'$ ,

$y''$ の一次方程式、というネイミングです。

Def.6　

$(7.2)$ の右辺を

$=0$ に置き換えた微分方程式を $(7.2)$ の補助方程式 と呼ぶ：

$y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0 \tag{7.3}$ また、この形の微分方程式を２階同次線形微分方程式 と言う。

　補助方程式、と呼ぶのは何故かというと

Th.7　

$(7.2)$ の一般解

$y$ は、ひとつの特殊解

$y_0$ と、補助方程式

$(7.3)$ の一般解

$Y$ の和である：

$y=y_0 + Y$

証明　

$y$ も

$y_0$ も

$(7.2)$ の解なので

$\begin{align} y''\,+P(x)\,y'\,+Q(x)\,y\ &= R(x) \\ y_0''+P(x)\,y_0'+Q(x)\,y_0 &= R(x) \\ \end{align}$ 辺々引けば

$(y-y_0)''+P(x)\,(y-y_0)'+Q(x)\,(y-y_0) = 0$ となり、

$Y=y-y_0$ は

$(7.3)$ の一般解になります。(証明終)

Th.8　補助方程式

$(7.3)$ の解の集合は 2 次元のベクトル空間を成す。従って、

$(7.3)$ の 2 つの一次独立な解

$y_1$ ,

$y_2$ を用いると一般解

$Y$ は

$Y=c_1\,y_1+c_2\,y_2$ (

$c_1$ ,

$c_2$ は定数 ) と書ける。

証明　

$Y$ ,

$Z$ を共に

$(7.3)$ の解とすると

$\begin{align} Y''+P(x)\,Y'+Q(x)\,Y &= 0 \\ Z''+P(x)\,Z'+Q(x)\,Z &= 0 \\ \end{align}$ 辺々足せばば

$(Y+Z)''+P(x)\,(Y+Z)'+Q(x)\,(Y+Z) = 0$ となり、

$Y+Z$ も

$(7.3)$ の解になります。また

$Y$ の実数倍

$cY$ も

$(cY)''+P(x)\,(cY)'+Q(x)\,(cY) = 0$ を満たします。すなわち

$(7.3)$ の解は 足すことも、実数倍することもできます ので、ベクトル空間を成します。 2階微分方程式の解は 2 個の任意定数を含むので、その次元は 2 ということになります。 (証明終)

２階線形微分方程式の攻め方 ここ大事！

　Th.7, Th.8 から、

$(7.2)$ を解くことは次の 2 つの作業に分けられます：

$(7.2)$ の特殊解 $y_0$ をひとつみつけること
補助方程式 $(7.3)$ の一次独立な 2 つの解 $y_1$ , $y_2$ をみつけること

このとき、

$(7.2)$ の一般解

$y$ は

$y=y_0+c_1\,y_1+c_2\,y_2$ (

$c_1$ ,

$c_2$ は定数 ) となります。

一般に

$n$ 階線形微分方程式についても知りたい

線形微分方程式の攻め方

　一般に

$n$ 階線形微分方程式

$y^{(n)}+P_1(x)\,y^{(n-1)}+\cdots +P_n(x)\,y=R(x) \tag{$\ast$}$ についてもストーリーは全く同じで、補助方程式

$y^{(n)}+P_1(x)\,y^{(n-1)}+\cdots +P_n(x)\,y=0 \tag{$\dagger$}$ を考えれば、

$(\ast)$ の一般解 $y$ は、ひとつの特殊解 $y_0$ と補助方程式 $(\dagger)$ の一般解 $Y$ の和になる： $y=y_0+Y$
補助方程式 $(\dagger)$ の解の集合は $n$ 次元のベクトル空間を成す

が成り立ちます。従って

$(\ast)$ の特殊解 $y_0$ をひとつみつける
補助方程式 $(\dagger)$ の一次独立な $n$ 個の解 $y_1$ , $y_2$ , $\cdots$ , $y_n$ をみつける

ことにより、

$(\ast)$ の一般解

$y$ は

$y=y_0+c_1\,y_1+c_2\,y_2+\cdots+c_n\,y_n$ (

$c_1$ ,

$c_2$ ,

$\cdots$ ,

$c_n$ は定数 ) となります。

前へ / 戻る / 次へ