Th.1　周期 $2\ell$ を持つ、区分的になめらかな関数 $f(x)$ はフーリエ展開 $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left\{a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)+b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)\right\} \tag{$\sharp$}$$ を持ち、そのフーリエ係数は $$\left\{ \begin{array}{ll} \dps{a_n = \frac{1}{\ell}\int_{-\ell}^{\ell}f(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)dx} & \forall n \geqq 0 \\ \dps{b_n = \frac{1}{\ell}\int_{-\ell}^{\ell}f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)dx} & \forall n \geqq 1 \\ \end{array} \right. \tag{$\star$}$$ によって定まる。

Th.2　区間 $0 \leqq x \leqq \ell$ で定義されている、区分的になめらかな関数 $f(x)$ は、フーリエ係数 $\dps{a_n = \frac{2}{\ell}\int_{0}^{\ell}f(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)dx}$  ( $n \geqq 0$ ) を用いて $\dps{f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)}$   ( $0 \leqq x \leqq \ell$, $x$ は連続点 ) と表される。これを $f(x)$ のフーリエ余弦級数 ( フーリエ余弦展開 ) と呼ぶ。

Th.2'　区間 $0 \leqq x \leqq \ell$ で定義されている、区分的になめらかな関数 $f(x)$ は、フーリエ係数 $\dps{b_n = \frac{2}{\ell}\int_{0}^{\ell}f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)dx}$  ( $n \geqq 1$ ) を用いて $\dps{f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)}$   ( $0 \leqq x \leqq \ell$, $x$ は連続点 ) と表される。これを $f(x)$ のフーリエ正弦級数 ( フーリエ正弦展開 ) と呼ぶ。

Lemma 3　$k$ を定数とし、2 階微分方程式 $$\left\{ \begin{array}{l} y''(x)+k\,y(x)=0 \quad (\ 0 \leqq x \leqq \ell\ ) \\ y(0)=y(\ell)=0 \\ \end{array} \right. \tag{6.11}$$ を考える。このとき、

1. $(6.11)$ が $y \equiv 0$ 以外の解を持つこと $\Leftrightarrow$ $k \gt 0$ かつ　$\exists$ 自然数 $n$   such that  $\dps{\sqrt{k}=\frac{n\pi}{\ell}}$
2. (1) のとき、$(6.11)$ の一般解は $\dps{y(x)=A\sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)}$