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熱伝導方程式

　これは、$x$ 軸上に 一様な線密度と一定の比熱 を持つ棒が乗っているときに $u(x,t)=$ 時刻 $t$ での座標 $x$ での温度 が満たす方程式です。 　境界条件は、区間の両端が一定温度であることを表し、 初期条件の $f(x)$ は時刻 $t=0$ での温度分布を表します。

Step 1 ( 変数分離解 )

　まず $u(x,t)=X(x)T(t)$  ( $X(x)$ は $x$ だけの、$T(t)$ は $t$ だけの関数 ) の形の「変数分離解」を探しましょう。$(7.1)$ へ入れると    $c^2X''T=XT'$ ∴　$\dps{\frac{X''}{X}=\frac{1}{c^2}\frac{T'}{T}}$. 左辺は $x$ だけの、右辺は $t$ だけの関数ゆえ $\dps{\frac{X''}{X}=\frac{1}{c^2}\frac{T'}{T}=}$ 定数 $(-k)$ と置け、 $\dps{ \left\{ \begin{array}{l} X''+kX=0, \\ T'+c^2kT=0. \\ \end{array} \right. }$ $(7.2)$ より $X(0)=X(\ell)=0$ ですから、L'a 2 により $\exists\, n$; $\dps{k=\left(\frac{n\pi}{\ell}\right)^2}$ かつ $\dps{X=A\sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)}$. この $k$ の値を $T'+c^2kT=0$ へ入れて解いて $\dps{T=B\exp\left(-\left(\frac{n\pi c}{\ell}\right)^2 t\right)}$. 掛け合わせると $\dps{U = XT = C \sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right) \exp\left(-\left(\frac{n\pi c}{\ell}\right)^2 t\right)}$.

Step 2 ( 重ね合わせの原理 )

　変数分離解を重ね合わせた $\dps{u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right) \exp\left(-\left(\frac{n\pi c}{\ell}\right)^2 t\right)}$ も、境界条件 $(7.2)$ を満たす $(7.1)$ の解です。 これが初期条件 $(7.3)$ を満たすように $C_n$ を決めましょう。 $t=0$ を入れると $\dps{f(x)=u(x,0) =\sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right) }$ となり、この式は $f(x)$ のフーリエ正弦展開の係数が $C_n$ であることを示しています。 従って $\dps{C_n = \frac{2}{\ell}\int_{0}^{\ell}f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right)dx}$.

例

　$C_1=1$, 他の $C_n=0$ の場合で $\dps{u(x,t) = \sin(\pi x) \exp\left(-(\pi c)^2 t\right)}$ 横軸を $x$, 縦軸を温度とすると、時刻 $t$ での温度 $u(x, t)$ は図のように変化します。 だんだん冷めてゆくゆくのですが、時間がたつほど冷め方がゆっくりになる様子が見て取れます。 　$C_1=C_2=1$, 他の $C_n=0$ の場合で $\dps{u(x,t) = \sin(\pi x) \exp\left(-(\pi c)^2 t\right) + \sin(2\pi x) \exp\left(-(2\pi c)^2 t\right)}$ 右側の冷たかったところに左側の熱が伝わって、やがてどちらも冷めてゆきます。

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