応用数学 第8回 (2) 級数解法
級数解法の例 その１
微分方程式の解が整級数の形であると仮定して、
係数比較によって解を求める解法を
級数解法と呼びます。
Ex.2 $y'=y^2$, $y(0)=1$
解 $y=y(x)$ が整級数 $(\ast)$ の形であると仮定します。
まず
$c_0=y(0)=1$
から
$y = 1 + c_1\, x + c_2\, x^2 + c_3\, x^3 + \cdots $
であり、
$y^2 = 1 + 2\,c_1\, x + (c_1^2+2\,c_2)\, x^2 + 2\,(c_1c_2+c_3)\,x^3 + \cdots $
となります。これと
$y' = c_1 + 2\,c_2\, x + 3\, c_3\, x^2 + 4\, c_4 \, x^3 + \cdots $
を係数比較して
\begin{align}
c_1 & = 1 \\
2\, c_2 &= 2 \, c_1 = 2 \therefore c_2 = 1 \\
3\, c_3 &= c_1^2 + 2 \, c_2 = 3 \therefore c_3 = 1 \\
4\, c_4 &= 2\,(c_1c_2 + c_3) = 4 \therefore c_4 = 1 \\
\end{align}
どうやら
$y = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots = \dps{\frac{1}{1-x}}$
のようです。
検算 $y(0) = 1$ は良くて、
$y' = \left((1-x)^{-1}\right)' = (-1)(1-x)^{-2}(1-x)' = (1-x)^{-2} = y^2$.
正解です。
級数解法の例 その２
Ex.3 $y'' - xy' - y = 0$
解 今度は $\sum$ を使った式で計算しましょう。
$\dps{y = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n}$
とすると
$\dps{y' = \sum_{n=0}^{\infty} n \, c_n x^{n-1}}$
より
$\dps{xy' = \sum_{n=0}^{\infty} n \, c_n x^n}$
また
$\dps{y'' = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) \, c_n\, x^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) \, c_{n+2}\, x^n}$
よって
左辺の $x^n$ の係数 $= (n+2)(n+1)\,c_{n+2} - n\,c_n - c_n = (n+1)\big\{(n+2)\,c_{n+2}-c_n\big\}$
これが $0$ なので
$\dps{c_{n+2} = \frac{1}{n+2}\,c_n},$ $\forall\,n$
すると $n$ が偶数のとき $c_n$ は $c_0$ で書けて
$\dps{c_2 = \frac{1}{2}c_0}$,
$\dps{c_4 = \frac{1}{4}c_2 = \frac{1}{4\times 2}c_0}$,
$\dps{c_6 = \frac{1}{6}c_4 = \frac{1}{6\times 4\times 2}c_0},$ $\cdots$
また $n$ が奇数のとき $c_n$ は $c_1$ で書けて
$\dps{c_3 = \frac{1}{3}c_1}$,
$\dps{c_5 = \frac{1}{5}c_3 = \frac{1}{5\times 3}c_1}$,
$\dps{c_7 = \frac{1}{7}c_5 = \frac{1}{7\times 5\times 3}c_1},$ $\cdots$
よって
\begin{align}
y & = c_0 + c_1 x + \frac{1}{4\times 2}c_0\,x^2 + \frac{1}{5\times 3}c_1\,x^3 + \cdots \\
& = \dps{ c_0 \left( 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4\times 2}x^4 + \frac{1}{6\times 4\times 2}x^6 + \cdots \right) } \\
& + \dps{ c_1 \left( x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5\times 3}x^5 + \frac{1}{7\times 5\times 3}x^7 + \cdots \right)} \\
\end{align}
すなわち
\begin{align}
f & = \dps{1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4\times 2}x^4 + \frac{1}{6\times 4\times 2}x^6 + \cdots} \\
g & = \dps{x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5\times 3}x^5 + \frac{1}{7\times 5\times 3}x^7 + \cdots} \\
\end{align}
と置けば、
$y=c_0\,f + c_1 \, g$ ( $c_0$, $c_1$ は任意定数 )
と書け、2階線形微分方程式の一般解(2次元)の基底が $f$ と $g$ ということになります。