応用数学 第5回 (2) 補助方程式の解：当て推量
当て推量による補助方程式の解の探索
Ex.1 ( 例 7.3 ) $\dps{y''+\frac{3}{x}y'-\frac{3}{x^2}y = 0}$
試しに $y=x^m$ の形の解を探してみましょう。
$y=x^m$, $y' = mx^{m-1} $, $y'' = m(m-1)x^{m-2}$
を代入して
$\dps{m(m-1)x^{m-2}+3mx^{m-2}-3x^{m-2} = 0}$
$((m^2-m)+3m-3)x^{m-2} = 0$
$m^2+2m-3 = 0$
$m=-3$, $m=1$
これで一次独立な 2 つの解
$y_1=x^{-3}$, $y_2=x$
がみつかりましたので、一般解 $Y$ は
$Y=A\,x^{-3}+B\,x$
となります。
※ いきなり 2 つの一次独立な解がみつかるのは余程の偶然です。