応用数学（塩田）2021年度

応用数学第5回 (2)　補助方程式の解：当て推量

当て推量による補助方程式の解の探索

Ex.1 ( 例 7.3 )　

$\dps{y''+\frac{3}{x}y'-\frac{3}{x^2}y = 0}$

　試しに

$y=x^m$ の形の解を探してみましょう。

$y=x^m$ ,

$y' = mx^{m-1}$ ,

$y'' = m(m-1)x^{m-2}$ を代入して

$\dps{m(m-1)x^{m-2}+3mx^{m-2}-3x^{m-2} = 0}$

$((m^2-m)+3m-3)x^{m-2} = 0$

$m^2+2m-3 = 0$

$m=-3$ ,

$m=1$ これで一次独立な 2 つの解

$y_1=x^{-3}$ ,

$y_2=x$ がみつかりましたので、一般解

$Y$ は

$Y=A\,x^{-3}+B\,x$ となります。

※　いきなり 2 つの一次独立な解がみつかるのは余程の偶然です。