応用数学（塩田）2021年度

応用数学第5回 (1)　問題設定と復習

問題設定

　今日は一般の２階線形微分方程式

$y'' + P(x) \, y' + Q(x) \, y = R(x) \tag{7.2}$ を扱います。ここで

$P(x)$ ,

$Q(x)$ ,

$R(x)$ は与えられた関数です。

復習

　右辺を

$0$ とした

$y'' + P(x) \, y' + Q(x) \, y = 0 \tag{7.3}$ を

$(7.2)$ の補助方程式と言いました。このとき次が成り立ちます：

$(7.2)$ の一般解

$y$ は、ひとつの特殊解

$y_0$ と、補助方程式

$(7.3)$ の一般解

$Y$ の和である：

$y=y_0 + Y$

補助方程式

$(7.3)$ の解たちは 2 次元のベクトル空間を成す

従って

$(7.2)$ の一般解

$y$ を求めることは次の二つの作業に分けられる：

　前回と違って

$P(x)$ ,

$Q(x)$ が関数なので「確実な解法」はありませんが、それでもなんとか解ける場合をいくつか勉強します。