応用数学（塩田）2020年度

応用数学第12回 (4)　双曲線関数

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$\newcommand{\LT}{\mathscr{L}}$

双曲線関数

Def.7　次の関数を双曲正弦・双曲余弦 ( hyperbolic sine, hyperbolic cosine ) と呼ぶ：

$\dps{\sinh(t)=\frac{1}{2}(e^t-e^{-t}),\qquad \cosh(t)=\frac{1}{2}(e^t+e^{-t})}$

　その名前の由来は

Rem.8　単位円上の点が

$(\cos\theta,\, \sin\theta)$ とパラメータ表示できることのアナロジーで

直角双曲線

$x^2-y^2=1$ 上の点は

$(\cosh(t),\,\sinh(t))$ とパラメータ表示できる。

また

$\cosh'(t)=\sinh(t)$ ,

$\qquad\sinh'(t)=\cosh(t)$ が成り立ち、いずれも微分方程式

$y''=y$ の解である。

　また、

$\cosh$ は身近なところにあるというお話で、

Rem.9　弾力の無いひもを２点で固定して吊るしたとき、ひもが描く曲線は懸垂線と呼ばれ、適切な座標を取れば

$y=\cosh(x)$ と相似になる。

さて、双曲線関数のラプラス変換は次の通りです。

Th.10　

$\dps{\LT(\cosh(\lambda t))=\frac{s}{s^2-\lambda^2}}$ ,

$\dps{\LT(\sinh(\lambda t))=\frac{\lambda}{s^2-\lambda^2}}$ (

$s \gt |\,\lambda\,|$ ).

自分で計算してみよう

証明

$\begin{align} \LT(\cosh(\lambda t)) &=\frac{1}{2} \int_0^{\infty} (e^{\lambda t}+e^{-\lambda t})\,e^{-st}dt \\ &=\frac{1}{2} \int_0^{\infty} \Big(e^{(\lambda-s)t}+e^{-(\lambda+s)t}\Big)\,dt \\ &=\frac{1}{2} \Bigg[ \frac{1}{\lambda-s}e^{(\lambda-s)t}-\frac{1}{\lambda+s}e^{-(\lambda+s)t}\Bigg]_0^{\infty} \\ &=\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\lambda-s}+\frac{1}{\lambda+s}\right) =\frac{s}{s^2-\lambda^2}, \\ \end{align}$ $\begin{align} \LT(\sinh(\lambda t)) &=\frac{1}{2} \int_0^{\infty} (e^{\lambda t}-e^{-\lambda t})\,e^{-st}dt \\ &=\frac{1}{2} \int_0^{\infty} \Big(e^{(\lambda-s)t}-e^{-(\lambda+s)t}\Big)\,dt \\ &=\frac{1}{2} \Bigg[ \frac{1}{\lambda-s}e^{(\lambda-s)t}+\frac{1}{\lambda+s}e^{-(\lambda+s)t}\Bigg]_0^{\infty} \\ &=\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\lambda-s}-\frac{1}{\lambda+s}\right) =\frac{\lambda}{s^2-\lambda^2}. \\ \end{align}$ (証明終)

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