応用数学（塩田）2020年度

応用数学第7回 (5)　 $f(D)^{-1}$ の公式

$f(D)^{-1}$ の定義

　次回特殊解を求めるための準備をしておきます。

Def.10　

$R(x)$ に作用して

$f(D)\,y=R(x)$ の特殊解

$y_0$ を "ひとつ" 返す演算子を

$f(D)^{-1}$ と表し、

$y_0=f(D)^{-1}R(x)$ と書き表す。

$f(D)^{-1}$ は

$f(D)\,f(D)^{-1}=$ 恒等写像

$1$ を満たす演算子だと考えます。

$f(D)^{-1}$ の公式

Th.11　(1)

$\dps{D^{-1}R(x)=\frac{1}{D}R(x)=\int R(x)dx}$

$f(D)^{-1}R(x)=e^{\alpha x}f(D+\alpha)^{-1}\{e^{-\alpha x}\,R(x)\}$
$\dps{\frac{1}{D-\alpha}R(x)=e^{\alpha x}\int e^{-\alpha x}\,R(x)dx}$
$\dps{\frac{1}{(D-\alpha)^n}R(x)=e^{\alpha x}\underbrace{\int\cdots\int}_{n\mbox{ times}} e^{-\alpha x}\,R(x)dx\cdots dx}$

証明　(1)

$\dps{D\int R(x)dx = R(x)}$ ゆえ

$\dps{\int R(x)dx = D^{-1}R(x).}$

Th.6 (2) より $\begin{align} \require{cancel} \require{color} &\textcolor{red}{f(D)}\left(\textcolor{red}{e^{\alpha x}} f(D+\alpha)^{-1}\{e^{-\alpha x}\,R(x)\} \right) \\ &\qquad=\textcolor{red}{e^{\alpha x} f(D+\alpha)} f(D+\alpha)^{-1} \{e^{-\alpha x}\,R(x)\} \\ &\qquad=e^{\alpha x} e^{-\alpha x} \,R(x) = R(x)\\ \end{align}$ ∴　 $e^{\alpha x}f(D+\alpha)^{-1}\{e^{-\alpha x}\,R(x)\}=f(D)^{-1}R(x).\qquad$
(2) より $\dps{\frac{1}{D-\alpha}R(x)=e^{\alpha x}\frac{1}{(D+\alpha)-\alpha} \{ e^{-\alpha x}\,R(x) \} = e^{\alpha x} \int e^{-\alpha x}\,R(x)dx}.$
は (3) の繰り返しです。(証明終)

Rem.12　1 ページ目で見たとおり、

$f(D)\,y=R(x)$ の解

$y$ は

$y=y_0 +$ ( 補助方程式の一般解

$Y$ ) と書けますので、

$f(D)^{-1}$ には

$Y$ の分だけの「あいまいさ」があります。たとえば Th.11 (3) では積分定数から出てくる

$Ce^{\alpha x}$ がその「あいまいさ」になります。