応用数学 第7回 (5) $f(D)^{-1}$ の公式
$f(D)^{-1}$ の定義
次回特殊解を求めるための準備をしておきます。
Def.10 $R(x)$ に作用して $f(D)\,y=R(x)$ の特殊解 $y_0$ を "ひとつ" 返す演算子を
$f(D)^{-1}$
と表し、
$y_0=f(D)^{-1}R(x)$
と書き表す。
$f(D)^{-1}$ は
$f(D)\,f(D)^{-1}=$ 恒等写像 $1$
を満たす演算子だと考えます。
$f(D)^{-1}$ の公式
Th.11 (1) $\dps{D^{-1}R(x)=\frac{1}{D}R(x)=\int R(x)dx}$
- $f(D)^{-1}R(x)=e^{\alpha x}f(D+\alpha)^{-1}\{e^{-\alpha x}\,R(x)\}$
- $\dps{\frac{1}{D-\alpha}R(x)=e^{\alpha x}\int e^{-\alpha x}\,R(x)dx}$
- $\dps{\frac{1}{(D-\alpha)^n}R(x)=e^{\alpha x}\underbrace{\int\cdots\int}_{n\mbox{ times}} e^{-\alpha x}\,R(x)dx\cdots dx}$
証明 (1) $\dps{D\int R(x)dx = R(x)}$ ゆえ $\dps{\int R(x)dx = D^{-1}R(x).}$
- Th.6 (2) より
\begin{align}
\require{cancel}
\require{color}
&\textcolor{red}{f(D)}\left(\textcolor{red}{e^{\alpha x}} f(D+\alpha)^{-1}\{e^{-\alpha x}\,R(x)\} \right) \\
&\qquad=\textcolor{red}{e^{\alpha x} f(D+\alpha)} f(D+\alpha)^{-1} \{e^{-\alpha x}\,R(x)\} \\
&\qquad=e^{\alpha x} e^{-\alpha x} \,R(x) = R(x)\\
\end{align}
∴ $e^{\alpha x}f(D+\alpha)^{-1}\{e^{-\alpha x}\,R(x)\}=f(D)^{-1}R(x).\qquad$
- (2) より
$\dps{\frac{1}{D-\alpha}R(x)=e^{\alpha x}\frac{1}{(D+\alpha)-\alpha} \{ e^{-\alpha x}\,R(x) \}
= e^{\alpha x} \int e^{-\alpha x}\,R(x)dx}.$
- は (3) の繰り返しです。(証明終)
Rem.12 1 ページ目で見たとおり、$f(D)\,y=R(x)$ の解 $y$ は
$y=y_0 +$ ( 補助方程式の一般解 $Y$ )
と書けますので、$f(D)^{-1}$ には $Y$ の分だけの「あいまいさ」があります。
たとえば Th.11 (3) では積分定数から出てくる $Ce^{\alpha x}$ がその「あいまいさ」になります。