数値解析 第13回 (5)　固有値・固有ベクトルの手計算
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固有値・固有ベクトルの手計算

　前ページの定理より、 $n$ 次正方行列 $A$ の固有値・固有ベクトル $(\lambda_j,\vvv_j)$ ( $j = 1,2,\cdots,n$ ) を求めるアルゴリズムは次で与えられます。
Algorithm 16　
  1. 固有多項式 $\varphi_A(x)$ を求める
  2. 固有方程式 $\varphi_A(x)=0$ の $n$ 個の解 $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\cdots$, $\lambda_n$ を求める
  3. 各 $\lambda_j$ に対し $(\lambda_j E-A)\vvv=\ooo$ の非零解 $\vvv_j$ を求める
Ex.6 の行列 $\dps{A=\mat{rr}{3 & 1 \\ 1 & 3}}$ の場合：
  1. $\varphi_A(x)=(x-4)(x-2).$
  2. $\lambda_1=4$, $\lambda_2=2$.
  3. $\lambda_1=4$ のとき  $\dps{(4 E-A)\vvv=\mat{rr}{1 & -1 \\ -1 & 1}\vvv=\ooo}$  の非零解を求めて $\vvv_{1}=\mat{c}{1 \\ 1}$.
    $\lambda_2=2$ のとき  $\dps{(2 E-A)\vvv=\mat{rr}{-1 & -1 \\ -1 & -1}\vvv=\ooo}$  の非零解を求めて $\vvv_{2}=\mat{c}{1 \\ -1}$.

複素数が必要な場合

　$A$ が実数成分でも、固有値・固有ベクトルの計算には複素数が必要な場合があります。
Ex.17　角 $\theta$ の回転の行列
$\dps{A=\mat{rr}{\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta}}$
は全ての非零ベクトルを回転させてしまうので、実数成分の固有ベクトルは存在しません。 複素数を用いると、
  1. $\dps{\varphi_A(x) =\left|\,\begin{array}{cc}x-\cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & x - \cos\theta \end{array}\,\right| =(x-\cos\theta)^2+\sin^2\theta}$.
  2. $\lambda_1=\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}$, $\lambda_2=\cos\theta-i\sin\theta=e^{-i\theta}$.
  3. $\lambda_1=\cos\theta+i\sin\theta$ のとき
    $\dps{((\cos\theta+i\sin\theta)E-A)\vvv =\mat{rr}{i\sin\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & i\sin\theta}\vvv=\ooo }$
    の非零解を求めて $\vvv_{1}=\mat{c}{i \\ 1}$.
    同様にして $\lambda_2=\cos\theta-i\sin\theta$ のとき $\vvv_{2}=\mat{c}{-i \\ 1}$.
※　体の理論から、$\lambda_1=\cos\theta+i\sin\theta$,  $\vvv_{1}=\mat{c}{i \\ 1}$ が求めまれば、 その複素共役
$\lambda_2=\cos\theta-i\sin\theta$,  $\vvv_{2}=\mat{c}{-i \\ 1}$
も固有値・固有ベクトルであることが自動的にわかります。
　有理数成分の行列で固有値に $\sqrt{\phantom{x}}$ が出てきたときも同様です。たとえば
$\dps{A=\mat{cc}{0 & 2 \\ 1 & 0}}$
のとき
$\lambda_1=\sqrt{2}$,  $\vvv_{1}=\mat{c}{\sqrt{2} \\ 1}$
が求まれば、その共役を取って
$\lambda_2=-\sqrt{2}$,  $\vvv_{2}=\mat{c}{-\sqrt{2} \\ 1}$
が求まります。

練習問題

　次の行列の固有値・固有ベクトルを求めよ。
(1)  $\dps{A=\mat{cc}{2 & 1 \\ 0 & 1 }}$
(2)  $\dps{A=\mat{rr}{3 & 2 \\ 1 & 2 \\}}$
(3)  $\dps{A=\mat{rr}{0 & -1 \\ 1 & 0 \\}}$
(4)  $\dps{A=\mat{rrr}{ 0 & 2 & 3 \\ 3 & -1 & 3 \\ 4 & -4 & 1}}$

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