数値解析 第10回 (2) 状況設定
連立一次方程式の行列を用いた表記
例えば
Ex.4 連立一次方程式
$\dps{\left\{
\begin{array}{l}
\phantom{xxxx}\phantom{1}y - \phantom{1}z = -1 \\
2x -6y + 4z = \phantom{w}2 \\
3x + \phantom{1}y - \phantom{1}z = \phantom{w}2 \\
\end{array}
\right.}$
を考えましょう。これは、行列 $A$、未知数のベクトル $\xxx$、ベクトル $\bbb$ を
$A=
\dps{
\mat{rrr}{
0 & 1 & -1 \\
2 & -6 & 4 \\
3 & 1 & -1}
}$,
$\xxx=\dps{\mat{c}{x \\ y \\ z}}$,
$\bbb=\dps{\mat{r}{-1 \\ 2 \\ 2}}$
とおくと、
簡単に
$A\xxx=\bbb$
と書き表すことができます。
Def.5 $m \times n$-行列 $A$、
未知の $n$ 次元縦ベクトル $\xxx$、
$m$次元縦ベクトル $\bbb$ を用いて
$A\xxx=\bbb$
と表される連立一次方程式において、$A$ をその「係数行列」と言い、
また $A$ の右側に $\bbb$ を書き加えた $m \times (n+1)$-行列 $(A\ \bbb)$ を「拡大係数行列」と呼ぶ。
Ex.4 では拡大係数行列は
$(A\ \bbb)=
\dps{
\mat{rrrr}{
0 & 1 & -1 & -1\\
2 & -6 & 4 & 2 \\
3 & 1 & -1 & 2 \\}
}$
です。
状況設定
今日から 3 回にわたり
- $A=(a_{ij})$：与えられた $n$ 次正則行列
- $\xxx=(x_i)$：未知の $n$ 次元縦ベクトル
- $\bbb=(b_i)$：与えられた $n$ 次元縦ベクトル
を用いて
$A\xxx=\bbb$
と表される連立一次方程式の解 $\xxx$ の近似値を求めます。
$A$ は正則ですから
理論的には
$\xxx=A^{-1}\bbb$
ですが、それをどうやって計算するか、というお話です。
方針のいろいろ
この講義では以下の方法を学びます。
- 直接、$\xxx=$ 何々、という式を導く方法
- 反復法により $\xxx$ に収束するベクトル列を計算する方法
今日はガウスの消去法、次回はLU分解法、その次にふたつの反復法をやります。