数値解析 第10回 (1) 線形代数の復習

行と列

 行列の行と列の区別をちゃんと覚えると、線形代数の理解が随分違います。
  • 覚え方: の字の中には2本の 横棒 の字の中には2本の 縦棒 があるので、 横の並びが行縦の並びが列、と覚えます。
  • $m \times n$ 行列、あるいは $(m,n)$-行列とは、$m$ 個の と $n$ 個の を持つ行列のことです。 $m \times n$ は、数 $\times$ 数 の順です。
  • $(i,j)$-成分とは $i$ 目の $j$ 目の成分のことです。 やはり $(i,j)$ は、(番号, 番号) の順です。
  • $(i,j)$-成分が $a_{ij}$ である $m \times n$ 行列
    $A= \dps{ \mat{ccccccc}{ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\} }$
    を簡単に $A=(a_{ij})$ と表します。

行基本変形

 行基本変形は、今日勉強するガウスの消去法の基本的道具です。
Def.1 行列に対する次の 3 種類の操作を「行基本変形」と言う:
  1. 第 $i$ 行と第 $j$ 行を入れ替える
  2. 第 $i$ 行全体を、$0$ でないスカラー倍する
  3. 第 $j$ 行から第 $i$ 行のスカラー倍を引く
    ※ 上書きするのは第 $j$ 行の方です。逆に覚えている人は今日覚え直しましょう。
Th.2 行基本変形は可逆な操作である。 すなわち、変形後の行列から、再び行基本変形によって元の行列を得ることができる。

正則行列

 「正則」という形容詞は数学の色々な所で使われますが、行列の正則性についても思い出しておきましょう。
Def.3 $n$ 次正方行列 $A=(a_{ij})$ が次の同値な条件を満たすとき、$A$ を正則行列と言う:
  1. 逆行列 $A^{-1}$ が存在する
  2. 行列式 $\det (A)=|\,A\,|$ は $0$ ではない
  3. $0$ は固有値ではない
  4. $n$ 次元縦ベクトルの一次変換 $\xxx\mapsto A\xxx$ は一対一写像(全単射)である
  5. $A$ の階数 $\mbox{rank}(A)$ は $n$ である
  6. $A$ の $n$ 個の行ベクトルが一次独立である
  7. $A$ の $n$ 個の列ベクトルが一次独立である