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オイラー法のアイデア

　最初に、精度はそれほど良く無いのですが、考え方の基本となるオイラー法を紹介します。

　刻み幅 $h$ が小さければ、区間 $[\,x_n,x_{n+1}\,]$ 内では $x$ ≒ $x_n$, $\qquad y(x)$ ≒ $y(x_n)$ ≒ $y_n$ なので $f(x, y(x))$ ≒ $f(x_n,y(x_n))$ ≒ $f(x_n,y_n)$ と考えます。$f(x_n,y_n)$ は 定数 ですから、 $\dps{\int_{x_n}^{x_{n+1}}f(x, y(x))dx}$ ≒ $\dps{\int_{x_n}^{x_{n+1}}f(x_n,y_n)dx} = h \times f(x_n,y_n)$ これを $(9.9)$ に入れてできる公式が

オイラー法の公式

　$x=x_0$ では $y'(x_0)=f(x_0,y(x_0))=f(x_0,y_0)$ ですから、 $x=x_0$ での $y=y(x)$ の接線の、$x=x_1$ での値が $y_1$ です。 絵を描くと最初の 1 ステップ目でいきなり相当の誤差が出ていることが見て取れます：

実行例

　教科書 p.191 図 9.2 では刻み幅を 1/1024 まで細かくしても 0.45% ほどの誤差を生じています。

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