Def.1　ルジャンドル多項式 $P_n(x)$ とは次式で決まる $n$ 次式である： $\dps{P_n(x)=\frac{1}{2^n \times n!}\left(\frac{d}{dx}\right)^n(x^2-1)^n}$   $(\,n=0,1,\cdots\,)$

Ex.2　$n=0,1,2$ のときは $$\begin{align} P_0(x)&=\frac{1}{2^0 \times 0!}(x^2-1)^0=\frac{1}{1 \times 1}1=1 \\ P_1(x)&=\frac{1}{2^1 \times 1!}(x^2-1)'=\frac{1}{2 \times 1}(2x)=x \\ P_2(x)&=\frac{1}{2^2 \times 2!}\{(x^2-1)^2\}''=\frac{1}{4 \times 2}(x^4-2x^2+1)''=\frac{1}{2}(3x^2-1) \\ \end{align}$$

Th.3　 ルジャンドル多項式は次の漸化式から計算できる $P_0(x)=1$,  $P_1(x)=x$,
$\dps{P_n(x)=\frac{1}{n}\Big\{(2n-1)xP_{n-1}(x)-(n-1)P_{n-2}(x)\Big\}}$   $(\,n=2,3,\cdots\,)$

Th.4　$P_n(1)=1$,   $P_n(-1)=(-1)^n$.

Th.5　内積 $\newcommand{\ip}[2]{\left\langle\,#1, #2\,\right\rangle}$ $\dps{\ip{f}{g}=\int_{-1}^1f\,g\,dx}$ に関して次が成り立つ:

1. $m \neq n$ ならば $\ip{P_m}{P_n}=0$.
2. $\dps{\ip{P_n}{P_n}=\frac{1}{2n+1}}$.

Cor.6　$k \lt m$ ならば $\ip{P_m}{x^k}=0$.

Rem.7　電磁気学、熱力学、流体力学などで活躍する 3 次元のラプラス方程式を変数変換すると、 パラメータ $n$ の入ったルジャンドルの微分方程式というものが出てきます: $\dps{(1-x^2)y''-2xy' + n(n+1)y=0}$ これは 2 階線形微分方程式なのでその解空間は 2 次元のベクトル空間になりますが、 その基底として、多項式の解と、無限級数の解を取ることができます。 その多項式解がルジャンドル多項式 $P_n$ です。 ( 「応用数学」2021年度第8回の教材 参照 )

※　役に立つ関数は得てして、物理学などの、数学以外の分野に由来するという例です。

Rem.8　一次独立な $n$ 個のベクトル $\newcommand{\vecv}{\boldsymbol{v}}$$\vecv_1$,  $\vecv_2$,  $\cdots$, $\vecv_n$ から、直交する $n$ 個の単位ベクトルを作り出す「グラム・シュミットの直交化法」というアルゴリズムがあります。 関数列 $1$,  $x$,  $\cdots$, $x^n$ にこのアルゴリズムを適用するとルジャンドル多項式 $P_0$,  $P_1$,  $\cdots$, $P_n$ が ( 定数倍を除いて ) 得られます。