数値解析（塩田）2022年度

数値解析第5回 (5)　例と注意

前進差分・後退差分・中心差分の比較

$y(x)=\sin(x)$ ,

$h=0.1$ の場合の

$y'$

$\require{color}$

$x$	真の値 $\cos(x)$	前進差分	前進差分の誤差	後退差分	後退差分の誤差	中心差分	中心差分の誤差
$0.300000$	$0.955336$	$0.938981$	$\color{red}{0.016355}$	$0.968509$	$\color{red}{0.013172}$	$0.953745$	$\color{red}{0.001591}$
$0.400000$	$0.921061$	$0.900072$	$\color{red}{0.020989}$	$0.938981$	$\color{red}{0.017920}$	$0.919527$	$\color{red}{0.001534}$
$0.500000$	$0.877583$	$0.852169$	$\color{red}{0.025413}$	$0.900072$	$\color{red}{0.022489}$	$0.876121$	$\color{red}{0.001462}$
$0.600000$	$0.825336$	$0.795752$	$\color{red}{0.029583}$	$0.852169$	$\color{red}{0.026834}$	$0.823961$	$\color{red}{0.001375}$
$0.700000$	$0.764842$	$0.731384$	$\color{red}{0.033458}$	$0.795752$	$\color{red}{0.030910}$	$0.763568$	$\color{red}{0.001274}$

前進差分・後退差分の誤差は小数点以下に 0 ひとつ、中心差分は 0 ふたつで、中心差分の方が優れています。

$y(x)=\sin(x)$ ,

$h=0.01$ の場合の

$y'$

$x$	真の値 $\cos(x)$	前進差分	前進差分の誤差	後退差分	後退差分の誤差	中心差分	中心差分の誤差
$0.300000$	$0.955336$	$0.953843$	$\color{red}{0.001494}$	$0.956798$	$\color{red}{0.001462}$	$0.955321$	$\color{red}{0.000016}$
$0.400000$	$0.921061$	$0.919099$	$\color{red}{0.001962}$	$0.922993$	$\color{red}{0.001932}$	$0.921046$	$\color{red}{0.000015}$
$0.500000$	$0.877583$	$0.875171$	$\color{red}{0.002412}$	$0.879965$	$\color{red}{0.002382}$	$0.877568$	$\color{red}{0.000015}$
$0.600000$	$0.825336$	$0.822499$	$\color{red}{0.002837}$	$0.828145$	$\color{red}{0.002809}$	$0.825322$	$\color{red}{0.000014}$
$0.700000$	$0.764842$	$0.761608$	$\color{red}{0.003234}$	$0.768051$	$\color{red}{0.003208}$	$0.764829$	$\color{red}{0.000013}$

刻み幅

$h$ を上記の 1/10 倍にすると、前進差分・後退差分の誤差は小数点以下に 0 ふたつ、中心差分は 0 ４つになりました。

2・3・4階の中心差分の例

$y(x)=\sin(x)$ ,

$h=0.1$ の場合の

$y''$ ,

$y'''$ ,

$y^{(4)}$

$x$	2 階の中心差分	2 階の中心差分の誤差	3 階の中心差分	3 階の中心差分の誤差	4 階の中心差分	4 階の中心差分の誤差
$0.300000$	$-0.295274$	$\color{red}{0.000246}$	$-0.952951$	$\color{red}{0.002386}$	$0.295028$	$\color{red}{0.000492}$
$0.400000$	$-0.389094$	$\color{red}{0.000324}$	$-0.918761$	$\color{red}{0.002300}$	$0.388770$	$\color{red}{0.000649}$
$0.500000$	$-0.479026$	$\color{red}{0.000399}$	$-0.875391$	$\color{red}{0.002192}$	$0.478627$	$\color{red}{0.000798}$
$0.600000$	$-0.564172$	$\color{red}{0.000470}$	$-0.823274$	$\color{red}{0.002061}$	$0.563702$	$\color{red}{0.000940}$
$0.700000$	$-0.643681$	$\color{red}{0.000537}$	$-0.762932$	$\color{red}{0.001910}$	$0.643145$	$\color{red}{0.001073}$

$y(x)=\sin(x)$ ,

$h=0.01$ の場合の

$y''$ ,

$y'''$ ,

$y^{(4)}$

$x$	2 階の中心差分	2 階の中心差分の誤差	3 階の中心差分	3 階の中心差分の誤差	4 階の中心差分	4 階の中心差分の誤差
$0.300000$	$-0.295518$	$\color{red}{0.000002}$	$-0.955313$	$\color{red}{0.000024}$	$0.295515$	$\color{red}{0.000005}$
$0.400000$	$-0.389415$	$\color{red}{0.000003}$	$-0.921038$	$\color{red}{0.000023}$	$0.389412$	$\color{red}{0.000007}$
$0.500000$	$-0.479422$	$\color{red}{0.000004}$	$-0.877561$	$\color{red}{0.000022}$	$0.479418$	$\color{red}{0.000008}$
$0.600000$	$-0.564638$	$\color{red}{0.000005}$	$-0.825315$	$\color{red}{0.000021}$	$0.564633$	$\color{red}{0.000009}$
$0.700000$	$-0.644212$	$\color{red}{0.000005}$	$-0.764823$	$\color{red}{0.000019}$	$0.644207$	$\color{red}{0.000011}$

注意

Rem.11　きざみ幅

$h$ が小さいと

$y(x+h)$ ≒

$y(x)$ ですから、差分を計算するときに桁落ちの危険があります。

$h$ は小さく設定し過ぎてはいけません。

Rem.12　偏微分は「他の変数を定数と思って微分する」ので、たとえば

$u=u(x,y)$ が 2 変数の関数であれば、2 階の中心差分から

$\dps{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}$ ≒

$\dps{\frac{1}{h^2}\{u(x+h,y) - 2\,u(x,y) + u(x-h,y)\}}$

$\dps{\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}$ ≒

$\dps{\frac{1}{h^2}\{u(x,y+h) - 2\,u(x,y) + u(x,y-h)\}}$ となります。すると物理学でよく使われるラプラシアンは

$\begin{align} \Delta u &=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \\ &\mbox{ ≒ } \frac{1}{h^2}\{u(x+h,y) + u(x-h,y) + u(x,y+h) + u(x,y-h) - 4\,u(x,y)\} \end{align}$ と近似できます。
　右辺のカッコ内は

$(x,y)$ を中心として

$\pm h$ の点の関数値を足し合わせた形で、その係数は

	$1$
$1$	$-4$	$1$
	$1$

となっています。これは画像処理ではラプラシアンフィルタと呼ばれ、エッジ抽出などに用いられます。

Rem.13　教科書 p.170 には「補正公式」が載っていますが、

$(8,9a)$ , $(8.9b)$ には $h$ ( 教科書では $\mathit{\Delta}x$ ) のべき乗が抜けています。
$(8.10b)$ の $\dps{-\frac{1}{90}}$ は $+\dps{\frac{1}{90}}$ です。
中心差分・前進差分の公式、補正公式

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