数値解析（塩田）　ヤコビ法、ガウス・ザイデル法実行例

ヤコビ法、ガウス・ザイデル法実行例

ヤコビ法では収束しないがガウス・ザイデル法なら収束する例

$\dps{ A = \mat{rrrr}{ 21 & -4 & 5 & 3 \\ 4 & 1 & 5 & 5 \\ -3 & 2 & 17 & -4 \\ -3 & 5 & -2 & 22 \\ }, \qquad b = \mat{c}{ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ } }$ として

$A\xxx=\bbb$ をヤコビ法で解きます。

ヤコビ法

k =   0 : x = (  0.0000000000,   0.0000000000,   0.0000000000,   0.0000000000)
k =   1 : x = (  0.0476190476,   2.0000000000,   0.1764705882,   0.1818181818)
k =   2 : x = (  0.3605805959,   0.0180799593,  -0.0076394194,  -0.2501909855)
k =   3 : x = (  0.0886233281,   1.8468296409,   0.1791069369,   0.2261846888)
...
k = 125 : x = (-10.2035246718,  76.9985497636,   6.6578133504,  17.7967710266)
k = 126 : x = ( 10.5864199630, -79.4588231979,  -6.4953287904, -18.1039861878)
k = 127 : x = (-10.9546042989,  82.6508950391,   7.1329977373,  19.0937599226)
k = 128 : x = ( 11.3646338906, -85.3153711040,  -6.9876801932, -19.4478314826)

A x - b =(485.6369007043, -174.0343939207, -248.7238812335, -878.5476894229)

ヤコビ法では収束しませんでした。

　同じ方程式をガウス・ザイデル法で解きます。

ガウス・ザイデル法

k =   0 : x = (  0.0000000000,   0.0000000000,   0.0000000000,   0.0000000000)
k =   1 : x = (  0.0476190476,   1.8095238095,  -0.0280112045,  -0.2254901961)
k =   2 : x = (  0.4311724690,   1.5428171269,   0.0179954335,  -0.1083898800)
k =   3 : x = (  0.3526886181,   1.0412177603,   0.0907100479,   0.0015180522)
...
k =  31 : x = (  0.0070093459,   0.1578771698,   0.1979305741,   0.1648865153)
k =  32 : x = (  0.0070093458,   0.1578771696,   0.1979305741,   0.1648865153)
k =  33 : x = (  0.0070093458,   0.1578771696,   0.1979305741,   0.1648865154)
k =  34 : x = (  0.0070093458,   0.1578771696,   0.1979305741,   0.1648865154)

A x - b =(0.0000000000, 0.0000000000, -0.0000000000, 0.0000000000)

ガウス・ザイデル法では収束しました。

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