問　次のネズミの絵を、$2$ 次行列 $\dps{A=\mat{cc}{a & b \\ c & d }}$ を用いた一次変換 $\dps{\mat{c}{x' \\ y'} = A \mat{c}{x \\ y} = \mat{c}{ax+by \\ cx+dy}}$ で変換したらどんな絵になるか？ 　座標 $(x,y)$ の画素の色情報を座標 $(ax+by, cx+dy)$ の画素の色情報に上書きすると、 変換後の画像はどんなものか、という問いです。

Ex.5 の行列 $\dps{A=\mat{rr}{-3 & 0 \\ 0 & 2}}$ の場合： $\dps{A\mat{c}{1 \\ 0}=(-3)\mat{c}{1 \\ 0}}$,    $\dps{A\mat{c}{0 \\ 1}=2\mat{c}{0 \\ 1}}$ でした。これは $A$ 倍写像が、

• $x$-軸方向のベクトルを $-3$ 倍し、
• $y$-軸方向のベクトルを $2$ 倍する

ことを意味します。従って、ネズミの絵は

• $x$-軸方向には $3$ 倍して左右を逆転させ、
• $y$-軸方向には $2$ 倍した

絵に写ります。 図のように升目を描けばわかり易いでしょう。

Ex.6 の行列 $\dps{A=\mat{rr}{3 & 1 \\ 1 & 3 }}$ の場合： $\dps{A\mat{c}{1 \\ 1}=4\mat{c}{1 \\ 1}}$,    $\dps{A\mat{r}{1 \\ -1}=2\mat{r}{1 \\ -1}}$ でした。今度は $A$ 倍写像は

• $\displaystyle{\vvv_1=\mat{c}{1 \\ 1}}$ 方向のベクトルを $4$ 倍し、
• $\displaystyle{\vvv_2=\mat{r}{1 \\ -1}}$ 方向のベクトルを $2$ 倍する

ことを意味します。従って、ネズミの絵は

• $\vvv_1$-方向に $4$ 倍し、
• $\vvv_2$-方向に $2$ 倍した

絵に写ります。
　そこで $\vvv_1$ 方向に $X$軸を、$\vvv_2$ 方向に $Y$軸を描いて、$XY$ 座標系で升目を描きましょう。 升目を $X$軸方向に4倍、$Y$ 軸方向に2倍して絵を描いたものがネズミの絵の像になります。

   $0$ が固有値である
      $\Leftrightarrow$ $0$ に対する固有ベクトル方向に絵がつぶれてしまう
      $\Leftrightarrow$ 絵を元に戻すことができない
      $\Leftrightarrow$ $A^{-1}$ が存在しない