数値解析（塩田）2021年度

数値解析第4回 (3)　ラグランジュ補間の誤差評価

線形補間の誤差評価

　精度は良くない線形補間ですが、ラグランジュ補間の誤差評価の感触はこれでつかみましょう。

Th.5　区間

$I=[x_k,\,x_{k+1}]$ における線形補間

$p(x)$ の近似誤差は、

$x=\alpha$ で

$\dps{\left|\,p(\alpha) - f(\alpha)\,\right| \leqq \frac{h^2}{8}\times f''_{max}}$ を満たす。ただし、

$h =$ ( 区間

$I$ の幅 ) =

$x_{k+1} - x_k$ ,

$f''_{max} =$ ( 区間

$I$ における

$|\,f''(x)\,|$ の最大値 )

　たとえば

$f(x) = \cos(x)$ ,

$h=0.1$ なら右辺

$\dps{\leqq \frac{0.1^2}{8} \times 1 = \frac{1}{800}}$ となります。

証明　1°　まず

$p(x)$ の式は

$\dps{p(x)=\lambda (x-x_k)+y_k}$

$\cdots\cdots$

$(1)$ ただし

$\dps{\lambda = \frac{y_{k+1}-y_k}{x_{k+1}-x_k}}$

誤差 $p(x)-f(x)$ が最大となるのは微分が $0$ になるときで $(p(x)-f(x))'= \lambda - f'(x)=0$ . すなわち $f'(\alpha) = \lambda$ $\cdots\cdots$ $(2)$ となる $\alpha$ での誤差を評価すれば宜しい。
$x=\alpha + t$ で $f(x)$ をテイラー展開すると、(2) より
$\begin{align} f(\alpha+t) & = f(\alpha)+f'(\alpha)t+\frac{1}{2}f''(\xi)t^2 \\ & = f(\alpha)+\lambda t+\frac{1}{2}f''(\xi)t^2 \\ \end{align}$
ただし $\xi$ は区間 $I$ 内の或る値で、これは第2回のテイラー展開と違って「有限テイラー展開」と呼ばれる形です。
$x=x_k$ を 3° へ代入すると、 $t=x_k-\alpha$ として $\dps{y_k = f(x_k) = f(\alpha) + \lambda (x_k - \alpha) + \frac{1}{2}f''(\xi)t^2}$ すると (1) より $\dps{f(\alpha) = y_k + \lambda (\alpha - x_k) - \frac{1}{2}f''(\xi)t^2 = p(\alpha) - \frac{1}{2}f''(\xi)t^2}$
$\alpha$ が区間 $I$ の中点より左にあれば $|\,t\,|=|\,\alpha-x_k\,| \leqq \frac{h}{2}$ ゆえ、4° より $\dps{|\,p(\alpha) -f(\alpha)\,| = \frac{1}{2} |\,f''(\xi)\,|\,t^2 \leqq \frac{1}{2}f''_{max}\left(\frac{h}{2}\right)^2 = \frac{h^2}{8}\times f''_{max}}$
$\alpha$ が区間 $I$ の中点より右にあるときは 3° へ $x=x_{k+1}$ を代入した式を用いて同様に証明できます。

(証明終)

$m$ 次ラグランジュ補間の誤差評価

　2 次以上のラグランジュ補間については結果だけ紹介します。

Th.6　

$m$ 次ラグランジュ補間

$p(x)$ の近似誤差は、

$x=\alpha$ で

$\dps{\left|\,p(\alpha) - f(\alpha)\,\right| \leqq \frac{1}{(m+1)!}\times f^{(m+1)}_{max} \times |\,\pi(x)\,|}$ を満たす。ただし

$\pi(x)=(x-x_k)(x-x_{k+1})\cdots(x-x_{k+m})$ で、

$f^{(m+1)}_{max}$ は区間

$I$ における

$|\,f^{(m+1)}(x)\,|$ の最大値である。

　観測点

$x_k$ たちの刻み幅を小さくすれば、

$|\,\pi(x)\,|$ は小さく、

$(m+1)!$ は大きな数なので精度が良くなります。