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定数係数線形微分方程式  $y''+ay'+by=0$  $\cdots\cdots$ $(\ast)$

　これを固有値・固有ベクトルの考え方で解きましょう。

1. $(\ast)$ の解は
   • 足してもスカラー倍しても解になる
   • 2階微分方程式なので、一般解は2個の積分定数を含む
   ことから、2次元のベクトル空間 $V$ を成すことがわかります。
2. 「微分をする」という写像を $D:V \rightarrow V$,  $D\,y = y'$ と書くことにすれば、$D$ は $V$ の一次変換になります。
3. $D$ の固有値・固有ベクトル $\lambda$, $y$ とは $D\,y = \lambda y$ を満たすスカラーと非零関数 $y$ のことですから、 $0 = y''+ay'+b=D^2y+aDy+by=(\lambda^2+a\lambda+b)y$ が成り立ちます。すなわち $\lambda$ は特性方程式 $\lambda^2+a\lambda+b=0$ の根、すなわち特性根です。
4. $\lambda$ に対する固有ベクトルは $D\,y = y'=\lambda y$ の解ですから $y=Ae^{\lambda x}$ です。
5. 特性方程式が異なる特性根 $\lambda$, $\mu$ を持つときは、以上の議論から $y = Ae^{\lambda x}+Be^{\mu x}$ が $(\ast)$ の一般解になります。

行列は表に出てきませんが、定数係数線形微分方程式の解法にはこのように固有値・固有ベクトルの考え方が潜んでいます。 ( 特性根が重根のときはもう少し議論が必要ですが。)

線形漸化式  $x_{n+2}+ax_{n+1}+bx_n=0$   $\cdots\cdots$ $(\sharp)$

　これも定数係数線形微分方程式と全く同じストーリーで解けます。

1. $(\sharp)$ の解は
   • 足してもスカラー倍しても解になる
   • $x_0$, $x_1$ を決めると解がただ一通りに決まるので、一般式は2個のパラメータを含む
   ことから、2次元のベクトル空間 $V$ を成すことがわかります。
2. 「番号 $n$ を $1$ 進める」という写像を $D:V \rightarrow V$,  $D\,x_n = x_{n+1}$ と書くことにすれば、$D$ は $V$ の一次変換になります。
3. $D$ の固有値・固有ベクトル $\lambda$, $\{\,x_n\,\}$ とは $D\,x_n = \lambda x_n$ を満たすスカラーと非零数列 $\{\,x_n\,\}$ のことですから、 $0 = x_{n+2}+ax_{n+1}+bx_n = D^2x_n+aDx_n+bx_n=(\lambda^2+a\lambda+b)x_n$ が成り立ちます。すなわち $\lambda$ は特性方程式 $\lambda^2+a\lambda+b=0$ の根、すなわち特性根です。
4. $\lambda$ に対する固有ベクトルは $D\,x_n = x_{n+1}=\lambda x_n$ の解ですから等比数列 $x_n=A \lambda^n$ です。
5. 特性方程式が異なる特性根 $\lambda$, $\mu$ を持つときは、以上の議論から $x_n= A \lambda^n + B \mu^n$ が $(\sharp)$ の一般解になります。

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