数値解析（塩田）2020年度

数値解析第8回 (2)　オイラー法

オイラー法のアイデア

　刻み幅

$h$ が小さければ、区間

$[\,x_n,x_{n+1}\,]$ 内では

$x$ ≒

$x_n$ ,

$\qquad y(x)$ ≒

$y(x_n)$ ≒

$y_n$ なので

$f(x, y(x))$ ≒

$f(x_n,y(x_n))$ ≒

$f(x_n,y_n)$ と考えます。右辺は定数ですから、

$\dps{\int_{x_n}^{x_{n+1}}f(x, y(x))dx}$ ≒

$\dps{\int_{x_n}^{x_{n+1}}f(x_n,y_n)dx} = h \times f(x_n,y_n)$ これを

$(9.9)$ に入れて

オイラー法の公式

公式 $(9.10)$ 　

$\dps{y_{n+1}=y_n + h \times f(x_n,y_n)}$

$(\,n=0,1,\cdots\,)$

$x=x_0$ では

$y'(x0)=f(x_0,y(x_0))=f(x_0,y_0)$ ですから、

$x=x_0$ での

$y=y(x)$ の接線の、

$x=x_1$ での値が

$y_1$ です。絵を描くと最初の 1 ステップ目でいきなり相当の誤差が出ていることが見て取れます：

実行例

　教科書 p.191 図 9.2 では刻み幅を 1/1024 まで細かくしても 0.45% ほどの誤差を生じています。